求解两道基础的线性代数题

Question

请看插图
刚学这些东西，还不熟悉，请指教

Answer 1

Exercise2.
1. 只需证Ve和Vo对运算封闭
设 f(x),g(x)∈Ve
则 f(-x) = f(x), g(-x)=g(x)
所以对 h(x)=f(x)+g(x) 有
h(-x) = f(-x)+g(-x) = f(x)+g(x) = h(x)
即 h(x)=f(x)+g(x) ∈Ve.
对任意k∈R, (kf)(-x) = kf(-x)=kf(x)
所以 kf(x)∈Ve
所以 Ve 为 R^R 的子空间

同理可证 Vo 是 R^R 的子空间.

2. 对任意 f(x)∈V
f(x) = (1/2)[f(x)+f(-x)] + (1/2)[f(x)-f(-x)]
而 (1/2)[f(x)+f(-x)]∈Ve
(1/2)[f(x)-f(-x)]∈Vo
所以 Ve+Vo = V.

3. 设 f(x)∈Ve ∩ Vo
则 f(x) = f(-x) = -f(x)
所以 f(x) = 0.
所以 Ve⊕Vo = V.

4. f(x)=e^x = (e^x+e^(-x))/2 + (e^x-e^(-x))/2

Excise3.
1. V 中共有8个向量, 其子空间作为加法群是V的子群
所以子空间中向量的个数是8的因子 [拉格朗日定理]
即V的子空间中元素个数只能是 1,2,4 或 8 个.

2. V1={(0,0,0)}
V2={(0,0,0),(1,0,0)}
V3={(0,0,0),(0,1,0)}
V4={(0,0,0),(0,0,1)}
V5={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)}
V6={(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,0,1)}
V7={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)}
V8={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,1)}

3. x1+x2 = 0
x2+x3 = 0
x1+ x3 = 0

追问

exercise 的第一问证明，不明白啊，有什么初等点的方法吗？

追答

那只能按 2 中的结果分析了
分类讨论:
只含0向量
含一个非零向量ei
含2个非零向量ei,ej
....