如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,Rt△OAB的斜边OA

Question

（2009•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．Rt△OAB的斜边OA在x轴的正半轴上，点A的坐标为（2，0），点B在第一象限内，且OB= 3，∠OBA=90°．以边OB所在直线折叠Rt△OAB，使点A落在点C处．
（1）求证：△OAC为等边三角形；
（2）点D在x轴的正半轴上，且点D的坐标为（4，0）．点P为线段OC上一动点（点P不与点O重合），连接PA、PD．设PC=x，△PAD的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当x= 12时，过点A作AM⊥PD于点M，若k= 7AM2PD，求证：二次函数y=-2x2-（7k-3 3）x+ 3k的图象关于y轴对称．

Answer 1

（2009•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．Rt△OAB的斜边OA在x轴的正半轴上，点A的坐标为（2，0），点B在第一象限内，且OB= 根号3，∠OBA=90°．以边OB所在直线折叠Rt△OAB，使点A落在点C处．
（1）求证：△OAC为等边三角形；
（2）点D在x轴的正半轴上，且点D的坐标为（4，0）．点P为线段OC上一动点（点P不与点O重合），连接PA、PD．设PC=x，△PAD的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当x= 1/2时，过点A作AM⊥PD于点M，若k= 7AM/2PD，求证：二次函数y=-2x2-（7k-3根号3）x+ 3k的图象关于y轴对称．
解：（1）、由题设可知OA=OC=2，AB=BC=1，所以OA=OC=AC，△OAC为等边三角形。
（2）、过P点作PE垂直OA于E点，则Rt△OPE与Rt△OBC，PC=x，则OP=2-x，所以PE：OP=OB：OC，PE=-根号3X/2+根号3，AD=OD-OA=4-2=2
△PAD的面积为y＝0.5AD*PE=-根号3X/2+根号3
（3）、当x= 1/2时，即PC=1/2，OP=3/2，PE=3根号3/4，OC的解析式求得为Y=根号3X，
X＝3/4，P点坐标为（3/4，3根号3/4），则PD＝7/2，
所以AM=[（-根号3）*0.5*0.5+根号3]*4/7＝3根号3/7
k= 7AM/2PD＝3根号3/7
y=-2x2-（7k-3 3）x+根号3k
y=-2x^2-（7*3根号3/7-3 根号3）x+ 根号3*3根号3/7
y=-2x^2+9/7
该二次函数的对称轴为X=0，所以图象关于y轴对称。请采纳！谢谢~

Answer 2

（2009•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．Rt△OAB的斜边OA在x轴的正半轴上，点A的坐标为（2，0），点B在第一象限内，且OB= 根号3，∠OBA=90°．以边OB所在直线折叠Rt△OAB，使点A落在点C处．
（1）求证：△OAC为等边三角形；
（2）点D在x轴的正半轴上，且点D的坐标为（4，0）．点P为线段OC上一动点（点P不与点O重合），连接PA、PD．设PC=x，△PAD的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当x= 1/2时，过点A作AM⊥PD于点M，若k= 7AM/2PD，求证：二次函数y=-2x2-（7k-3根号3）x+ 3k的图象关于y轴对称．
解：（1）、由题设可知OA=OC=2，AB=BC=1，所以OA=OC=AC，△OAC为等边三角形。
（2）、过P点作PE垂直OA于E点，则Rt△OPE与Rt△OBC，PC=x，则OP=2-x，所以PE：OP=OB：OC，PE=-根号3X/2+根号3，AD=OD-OA=4-2=2
△PAD的面积为y＝0.5AD*PE=-根号3X/2+根号3
（3）、当x= 1/2时，即PC=1/2，OP=3/2，PE=3根号3/4，OC的解析式求得为Y=根号3X，
X＝3/4，P点坐标为（3/4，3根号3/4），则PD＝7/2，
所以AM=[（-根号3）*0.5*0.5+根号3]*4/7＝3根号3/7
k= 7AM/2PD＝3根号3/7
y=-2x2-（7k-3 3）x+根号3k
y=-2x^2-（7*3根号3/7-3 根号3）x+ 根号3*3根号3/7
y=-2x^2+9/7
该二次函数的对称轴为X=0，所以图象关于y轴对称。

Answer 3

解：(1)C关于直线OB对称，AB=BC
∵
OB⊥AB,OB=√3,OA=2
∴
AB=1=OA/2
∴
∠AOB=30°,∠OAB=60°,又AC=2=OA
∴
△OAC是等边三角形
∵
OD=2OA=4,A是OD的中点，AD=2
作PE⊥OA于E,则OE=OP/2=(2-X)/2
PE=OP*√3/2,DE=4-OE=4-1+X/2=3+X/2
∵
Rt△DPE∽Rt△DAM，则
AM:PE=AD:PD,AM=PE*AD/PD
Y=0.5*AM*PD=0.5*PE*AD=(2-X)√3/2=√3-X√3/2
若二次函数Y=-2X^2-(7K-3√3)X+√3K的图像关于Y轴对称,即:K=3√3/7
当X=1/2时，PC=1/2,OP=3/2,OE=3/4,PE=3√3/4,DE=4-OE=4-3/4=13/4,PD^2=PE^2+DE^2
PD^2=(169+27)/16=196/16,PD=7/2,AM=PE*AD/PD,K=7AM/2PD=7PE*AD/2PD^2=7PE/PD^2
=(7*3√3/4)*(16/196)=3√3/7,将7K=3√3代入二次函数得：Y=-2X^2+9/7，
即，Y-9/7=-2X^2,该二次函数关于X=0对称，显然也关于Y轴对称。

Answer 4

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．Rt△OAB的斜边OA在x轴的正半轴上，点A的坐标为（2，0），点B在第一象限内，且OB= 根号3，∠OBA=90°．以边OB所在直线折叠Rt△OAB，使点A落在点C处． （1）求证：△OAC为等边三角形； （2）点D在x轴的正半轴上，且点D的坐标为（4，0）．点P为线段OC上一动点（点P不与点O重合），连接PA、PD．设PC=x，△PAD的面积为y，求y与x之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，当x= 1/2时，过点A作AM⊥PD于点M，若k= 7AM/2PD，求证：二次函数y=-2x2-（7k-3根号3）x+ 3k的图象关于y轴对称． 解：（1）、由题设可知OA=OC=2，AB=BC=1，所以OA=OC=AC，△OAC为等边三角形。 （2）、过P点作PE垂直OA于E点，则Rt△OPE与Rt△OBC，PC=x，则OP=2-x，所以PE：OP=OB：OC，PE=-根号3X/2+根号3，AD=OD-OA=4-2=2 △PAD的面积为y＝0.5AD*PE=-根号3X/2+根号3 （3）、当x= 1/2时，即PC=1/2，OP=3/2，PE=3根号3/4，OC的解析式求得为Y=根号3X， X＝3/4，P点坐标为（3/4，3根号3/4），则PD＝7/2， 所以AM=[（-根号3）*0.5*0.5+根号3]*4/7＝3根号3/7 k= 7AM/2PD＝3根号3/7 y=-2x2-（7k-3 3）x+根号3k y=-2x^2-（7*3根号3/7-3 根号3）x+ 根号3*3根号3/7 y=-2x^2+9/7 该二次函数的对称轴为X=0，所以图象关于y轴对称。

Answer 5

有根号，发不了只能将就一下吧，自己应该能看到大图