四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,侧面PAD是边长为2的等边三角形，且侧面PAD，见补

Question

四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,侧面PAD是边长为2的等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E是PC的中点。（1）证明PA∥平面BDE。（2）求PC与底面ABCD所成角的正弦值。

Answer 1

（1）连接BD交AC于O点，则点O是AC的中点，
连结OE，因为E是PC的中点，所以OE是△PAC的中位线，PA∥OE，
因为OE在平面BDC内，所以PA∥平面BDE。
（2）因为侧面PAD⊥底面ABCD，作PF⊥AD于点F，
所以PF⊥底面ABCD，∠PCF就是PC与底面ABCD所成角，
因为菱形ABCD中∠BAD=60°，所以∠ADC=120°,
在△CDF中，CF²=1²+2²-2×1×2cos120°=7，所以CF=√7，
因为△PAD是边长为2的等边三角形，所以PF=√3
在直角△PFC中，PC=√[(√7)²+(√3)²]=√10，
所以sin∠PCF=PF/PC=√3/√10=√30/10
即PC与底面ABCD所成角的正弦值是√30/10。