实对称矩阵为正定矩阵的充要条件为什么是与单位矩阵合同

Question

麻烦详细简单告诉我一下过程，谢谢

Answer 1

充分性直接按正定的定义验证，必要性可以用Gauss消去法构造出Cholesky分解A=LL^T。

1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3、n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

扩展资料： 

③aij和sa[k]之间的对应关系：

若i≥j，k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2。若i<j，k=j×(j+1)/2+i0≤k<n(n+1)/2。

对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。

按行优先顺序存储主对角线（包括对角线）以下的元素即按：

 次序存放在一个向量sa[0...n(n+1)/2-1]中（下三角矩阵中，元素总数为n(n+1)/2）。

参考资料来源：百度百科-实对称矩阵

Answer 2

实对称阵A是正定阵
则A的特征值{a1,a2,..,an}都是正的
而实对称阵是正交相似于对角阵diag(a1,..,an)
即有正交阵P使得A=P'diag(a1,a2,..,an)P
=P'diag(√a1,√a2,...,√an)·diag(√a1,√a2,...,√an)P
记Q=diag(√a1,√a2,...,√an)P，则
A=Q'Q，即A与单位阵合同
反之若A与单位阵合同，即存在可逆阵S，使得
设A=S'S。则对任意非零向量x，有x'Ax=x'S'Sx=(Sx)'(Sx)>0
∴A是正定的