三个极值点、若存在c

Question

已知函数f（x）=1／4 × x^4＋x^3－9/2 × x²＋cx有三个极值点
（1）证明：－27＜c＜5
（2）若存在c，使函数f（x）在区间［a，a+2］上单调递减，那么a∈＿＿＿＿？

Answer 1

（1）f(x)有三个极值点，从而它的导数f'(x)=x³+3x²-9x+c有三个零点。先判断f '(x)的单调性。
由于 f ''(x)=3x²+6x-9=3(x+3)(x-1)，令f ''(x)=0，解得 x=-3或 x=1，
容易得出，f '(x)在(-∞，-3)和(1，+∞)上是增函数，在(-3，1)上是减函数。从而
f'(x)=x³+3x²-9x+c的三个零点分别在这三个单调区间上，于是
f '(-3)=27+c>0，f '(1)=-5+c<0，从而 -27<c<5
(2)由（1），当c>-27时，f'(x)=x³+3x²-9x+c>x³+3x²-9x-27，f'(3)>27+27-27-27=0，
从而 可设 f'(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)，且 x1<-3<x2<1<x3<3，令f'(x)<0，由数轴标根法，解得 x<x1或 x2<x<x3，从而 f(x)在（-∞，x1]和[x2，x3]上是减函数。
若存在c，使函数f（x）在区间［a，a+2］上单调递减，则
a+2≤x1<-3
或
a≥x2>-3 且a+2≤x3<3
解得 a<-5或 -3<a<1

Answer 2

⑴ f（x）有三个极值点
←→y＝f′的图像与x轴交三个点。
y＝f′＝x³+3x²-9x+c
y′＝f″＝3﹙x+3﹚﹙x-1﹚
y在x＝-3有极大值27+c 在x＝1有极小值-5+c
只有极大值27+c＞0，极小值-5+c＜0 。y＝f′的图像与x轴才有交三个点。
此时 －27＜c＜5

Answer 3

1.f的极值点满足f'(x)=x^3+3x^2-9x+c=0。它有三个实根等价于y=0与它相交于两个驻点中间的位置。
f'(x)的驻点为f''(x)=3(x+3)(x-1)=0→x=-3,1→f'(x)=27+c,-5+c。∴-5+c<0<27+c→-27<c<5

2.f'(x)=x³+3x²-9x+c
f''(x)=3x²+6x-9=3(x+3)(x-1), f''(x)有两零点, 或曰 f'(x)有两驻点x=-3, 1
f(x)有3个极值, 那么 f'(x)有3个不同的零点, 从左至右设为x1, x2, x3.
由罗尔定理知, 且x1<-3<x2<1<x3.
f'(-3)=27+c, f'(1)=c-5, 两相比较知前者是f'(x)的极大值, 后者是f'(x)的极小值。
故f'(x)在(-∞,-3)单増, (-3, 1)单减, (1, ＋∞)单增。
又f'(x2)=0, x2∈(-3,1), 所以f(-3)>0>f(1), 即-27<c<5.
f'(x)在(-∞,x1)∪(x2, x3)内为负, 即f(x)在此范围单减. 其间夹着一个单增区间(x1, x2).
f(x)的这个单减范围随c而变化, 可记为Fc=(-∞,x1)∪(x2, x3).
对给定的c, a的取值范围记为Ac, 显然
Ac=(-∞,x1-2)∪(x2, x3-2), 当x3-x2>2时，或者
Ac=(-∞,x1-2), 当x3-x2<2时。
当 c 跑遍区间(-27, 5)时, 各Ac之并就是最后所要的a的取值范围A。
易知，在区间(-27,5)中, 若c1<c2, 则Fc1包含Fc2, Ac1包含Ac2, 故A=lim{c→-27}Ac
当c→-27时, 区间(x1, x2)收缩到点(-3), f'(x)→(x+3)²(x-3), 得x3→3,
所以lim{c→-27}Fc=(-∞,-3)∪(-3, 3), A=lim{c→-27}Ac=(-∞,-5)∪(-3, 1).