．函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是.
2．函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] .
3．函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是.
4．函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .
5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝.
6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝.
7．若cosx＝－, x∈(, π)，则x＝.
8．若sinx＝－, x∈(－, 0)，则x＝.
9．若3ctgx＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝.
二．基本要求：
1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；
2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsinx, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccosx, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；
3．符号arcsinx可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；
4．y＝arcsinx等价于siny＝x, y∈[－，], y＝arccosx等价于cosy＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；
5．注意恒等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sinx)＝x, x∈[－，], arccos(cosx)＝x, x∈[0, π]的运用的条件；
6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；
7．注意恒等式arcsinx＋arccosx＝, arctgx＋arcctgx＝的应用。
例一．下列各式中成立的是（C）。
（A）arcctg(－1)＝－ （B）arccos(－)＝－
（C）sin[arcsin(－)]＝－ （D）arctg(tgπ)＝π
解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π],
(D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。
例二．下列函数中，存在反函数的是（D）。
（A）y＝sinx, x∈[－π, 0] （B）y＝sinx, x∈[, ]
（C）y＝sinx, x∈[,] （D）y＝sinx, x∈[,]
解：本题是判断函数y＝sinx在哪个区间上是单调函数，由于y＝sinx在区间[,]上是单调递减函数， 所以选D。
例三． arcsin(sin10)等于（C）。
（A）2π－10 （B）10－2π （C）3π－10 （D）10－3π
解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相等，且该角度在[－, ]上。
由于sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－, ], 所以选C。
例四．求出下列函数的反函数，并求其定义域和值域。
（1）f (x)＝2sin2x, x∈[, ];（2）f (x)＝＋arccos2x.
解：(1) x∈[, ], 2x∈[, ], 2x－π∈[－, ], －2≤y≤2
由y＝2sin2x, 得sin2x＝, sin(2x－π)＝－sin2x＝－, ∴ 2x－π＝arcsin(－),
∴ x＝－arcsin, ∴ f －1(x)＝－arcsin, －2≤x≤2, y∈[, ].
(2) f (x)＝＋arccos2x, x∈[－, ], y∈[,],
∴ arccos2x＝y－, 2x＝cos(y－), x＝cos(y－)＝siny,
∴f －1(x)＝sinx , x∈[,], y∈[－, ].
例五．求下列函数的定义域和值域：
(1) y＝arccos; (2) y＝arcsin(－x2＋x); (3) y＝arcctg(2x－1),
解：(1) y＝arccos, 0<≤1, ∴ x≥1, y∈[0, ).
(2) y＝arcsin(－x2＋x), －1≤－x2＋x≤1, ∴ ≤x≤,
由于－x2＋1＝－(x－)2＋, ∴ －1≤－x2＋x≤, ∴ －≤y≤arcsin.
(3) y＝arcctg(2x－1), 由于2x－1>－1, ∴ 0< arcctg(2x－1)<, ∴ x∈R, y∈(0, ).
例六．求下列函数的值域：
(1) y＝arccos(sinx), x∈(－, ); (2) y＝arcsinx＋arctgx.
解：(1) ∵x∈(－, ), ∴ sinx∈(－, 1], ∴ y∈[0, ).
(2) ∵y＝arcsinx＋arctgx., x∈[－1, 1], 且arcsinx与arctgx都是增函数,
∴ －≤arcsinx≤, －≤arctgx≤, ∴ y∈[－,].
例七．判断下列函数的奇偶性：
(1) f (x)＝xarcsin(sinx); (2) f (x)＝－arcctgx.
解：(1) f (x)的定义域是R， f (－x)＝(－x)arcsin[sin(－x)]＝xarcsin(sinx)＝f (x),
∴ f (x)是偶函数;
(2) f (x)的定义域是R,
f (－x)＝－arcctg(－x)＝－(π－arcctgx)＝arcctgx－＝－f (－x),
∴ f (x)是奇函数.
例八．作函数y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π]的图象.
解：y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π], 得, 图象略。
例九．比较arcsin, arctg, arccos(－)的大小。
解：arcsin<, arctg<, arccos(－)>, ∴arccos(－)最大,
设arcsin＝α，sinα＝, 设arctg＝β, tgβ＝, ∴ sinβ＝<sinα, ∴ β<α,
∴ arctg< arcsin< arccos(－).
例十．解不等式：(1) arcsinx<arccosx; (2) 3arcsinx－arccosx>.
解：(1) x∈[－1, 1], 当x＝时, arcsinx＝arccosx, 又arcsinx是增函数,arccosx是减函数，
∴ 当x∈[－1, )时, arcsinx<arccosx.
(2) ∵ arccosx＝－arcsinx, ∴ 原式化简得4arcsinx>, ∴ arcsinx>＝arcsin,
∵ arcsinx是增函数, ∴ <x≤1.
三．基本技能训练题：
1．下列关系式总成立的是（B）。
（A）π－arccosx>0 （B）π－arcctgx>0 （C）arcsinx－≥0 （D）arctgx－>0
2．定义在(－∞, ∞)上的减函数是（D）。
（A）y＝arcsinx （B）y＝arccosx （C）y＝arctgx （D）y＝arcctgx
3．不等式arcsinx>－的解集是. 4．不等式arccosx>的解集是.
四．试题精选：
(一) 选择题：
1．cos(arccos)的值是（D）。
（A） （B） （C）cos （D）不存在
2．已知arcsinx>1，那么x的范围是（C）。
（A）sin1<x< （B）sinx<x≤ （C）sin1<x≤1 （D）
3．已知y＝arcsinx·arctg|x| (－1≤x≤1)， 那么这个函数（A）。
（A）是奇函数 （B）是偶函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
4．若a＝arcsin(－), b＝arcctg(－), c＝arccos(－)，则a, b, c的大小关系是（B）。
（A）a<b<c （B）a<c<b （C）c<a<b （D）c<b<a
5．已知tgx＝－, x∈(, π)，则x＝（C）。
（A）＋arctg(－)（B）π－arctg(－)（C）π＋arctg(－)（D）
6．函数f (x)＝2arccos(x－2)的反函数是（D）。
（A）y＝(cosx－2) (0≤x≤π) （B）y＝ cos(x－2) (0≤x≤2π)
（C）y＝ cos(＋2) (0≤x≤π) （D）y＝ cos＋2 (0≤x≤2π)
7．若arccosx≥1，则x的取值范围是（D）。
（A）[－1, 1] （B）[－1, 0] （C）[0, 1] （D）[－1, arccos1]
8．函数y＝arccos(sinx) (－<x<)的值域是（B）。
（A）(, ) （B）[0, ] （C）(, ) （D）[,]
9．已知x∈[－1, 0]，则下列等式成立的是（B）。
（A）arcsin＝arccosx （B）arcsin＝π－arccosx
（C）arccos＝arcsinx （D）arccos＝π－arcsinx
10．直线2x＋y＋3＝0的倾斜角等于（C）。
（A）arctg2 （B）arctg(－2) （C）π－arctg2 （D）π－arctg(－2)
(二) 填空题：
11．若cosα＝－ (<α<π)，则α＝. (用反余弦表示)
12．函数y＝(arcsinx)2＋2arcsinx－1的最小值是 －2 .
13．函数y＝2sin2x (x∈[－, ])的反函数是.
14．函数y＝arcsin的定义域是 x≤1或x≥3 ，值域是
15．用反正切表示直线ax－y＋a＝0 (a≠0)的倾斜角为α＝
(三) 解答题：
16．求下列函数的反函数：
(1) y＝3cos2x, x∈[－, 0]; (2) y＝π＋arccosx2 (0<x≤1).
解：(1) x∈[－, 0], ∴ 2x∈[－π, 0], 函数y＝3cos2x在定义域内是单值函数.
且－3≤y≤3. ∴ π＋2x∈[0, π], y＝3cos2x＝－3cos(π＋2x), cos(π＋2x)＝－,
∴ π＋2x＝arccos, ∴x＝arccos－,
∴y＝3cos2x, x∈[－, 0]的反函数是y＝arccos－, －3≤x≤3.
(2) ∵0<x≤1, π≤y<, ∴ arccosx2＝y－π, x2＝cos(y－π), x＝,
∴ 原函数的反函数是y＝, π≤x<.
17．求函数y＝(arccosx)2－3arccosx的最值及相应的x的值。
解：函数y＝(arccosx)2－3arccosx, x∈[－1, 1], arccosx∈[0, π]
设arccosx＝t, 0≤t≤π, ∴ y＝t2－3t＝(t－)2－,
∴ 当t＝时,即x＝cos时, 函数取得最小值－，
当t＝π时,即x＝－1时，函数取得最大值π2－3π.
18．若f (arccosx)＝x2＋4x, 求f (x)的最值及相应的x的值。
解：设arccosx＝t, t∈[0, π], x＝cost, 代入得f (t)＝cos2t＋4cost,
∴ f (x)＝cos2x＋4cosx, x∈[0, π], cosx∈[－1, 1], f (x)＝(cosx＋2)2－4,
∴ 当cosx＝－1时,即x＝π时，函数取得最小值－3.
当cosx＝1时,即x＝0时，函数取得最大值5.
19．(1)求函数y＝arccos(x2－2x)的单调递减区间; (2)求函数arctg(x2－2x)的单调递增区间。
解：(1) 函数y＝arccosu, u∈[－1, 1]是减函数，
∴ －1≤x2－2x≤1,1－≤x≤1＋, 又x2－2x＝(x－1)2＋1,
∴ 1≤x≤1＋时, u＝x2－2x为增函数，根据复合函数的概念知此时原函数为减函数。
(2) 函数y＝arctgu增函数, u∈R, 又x2－2x＝(x－1)2＋1,
∴ 当x≥1时，原函数是增函数。
20．在曲线y＝5sin(arccos)上求一个点，使它到直线x＋y－10＝0的距离最远，并求出这个最远距离
解：设arccos＝α, －3≤x≤3, cosα＝,
y＝5sinα＝5,
三角函数的性质和图象
[重点]：复合三角函数的性质和图象
[难点]：复合三角函数的图象变换
[例题讲解]
例1．求函数的定义域：f(x)=
解：
(1): 2kπ≤x≤(2k+1)π (k∈Z)
(2): -4<x<4
定义域为 。
注意：sinx中的自变量x的单位是“弧度”，x∈R。
例2．求y=cos( -2x)的递增区间。
分析（1）：该函数是y=cosu，u= -2x的复合函数，
∵ u= -2x为减函数，要求y=cos( -2x)的递增区间，只须求y=cosu的递减区间。
方法（1）：∵ y=cosu的递减区间为2kπ≤u≤π+2kπ (k∈Z)
∴ 令2kπ≤ -2x≤π+2kπ，- -kπ≤x≤ -kπ (k∈Z)
∵ -k与k等效，∴ 递增区间为[- +kπ, +kπ] (k∈Z)。
分析（2）：∵ cosu为偶函数，∴ y=cos(2x- )
设y=cost，t=2x- ，
∵ t=2x- 为增函数，要求y=cos(2x- )的递增区间，只须求y=cost的递增区间。
方法（2）：∵ y=cost的递增区间为π+2kπ≤t≤2π+2kπ (k∈Z)
∴ 令π+2kπ≤2x- ≤2π+2kπ， +kπ≤x≤ +kπ (k∈Z)
∴ 递增区间为 +kπ≤x≤ +kπ (k∈Z)。
注意：两种方法求得的结果表面上看不相同，但是从图上看两种形式所表示的范围完全相同。
例3．求函数y=sin2x+sinx·sin(x+ )的周期和值域。
分析：求函数的周期、值域、单调区间等，对于三角函数式常用的方法是转化为一个角的一个三角函数式。
解：y=
=
=
=
∴ T= =π，值域为[ ]。
例4．求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值。
分析：sinx+cosx与sinxcosx有相互转化的关系，若将sinx+cosx看成为整体，设为新的元，函数式可转化为新元的函数式，注意新元的取值范围。
解：设sinx+cosx=t，t∈[- , ]。
则(sinx+cosx)2=t2，即1+2sinxcosx=t2，sinxcosx= ，
y=t+ = (t2+2t)- = (t+1)2-1，
当t= 时，ymax= + 。
例5．判断下列函数的奇偶性
（1）y=sin(x+ )- cos(x+ )
（2）y=
分析：定义域为R，关于原点对称，经过等值变形尽量转化为一个角的一个三角函数式，再判断其奇偶性。
解：（1）y=2[ sin(x+ )- cos(x+ )]
=2sin[(x+ )- ]
=2sinx
∴ 函数为奇函数。
（2）∵ 从分母可以得出定义域x≠π+2kπ且 (k∈Z)，在直角坐标系中定义域关于原点不对称。
∴ 函数为非奇非偶函数。
例6．写出下列函数图象的解析式
（1）将函数y=sinx的图象上所有点向左平移 个单位，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得到所求函数的图象。
（2）将函数y=cosx的图象上所有点横坐标缩为原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移 个单位，得到所求函数的图象。
（1）分析：按图象变换的顺序，自变量x的改变量依次是：+ ； 倍。
图象的解析式依次为：y=sinx→y=sin(x+ )→y=sin( )。
解：所求函数图象的解析式为y=sin( ),也可以写为：y=sin (x+ ).
（2）分析：按图象变换的顺序，自变量x的改变量依次是：2倍；+ 。
图象的解析式依次为：y=cosx→y=cos2x→y=cos2(x+ )。
解：所求函数图象的解析式为y=cos2(x+ )，也可以写为：y=cos(2x+ )。
例7．已知函数y=sin(3x+ )
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数的对称性。
分析：函数的奇偶性与函数的对称性既有联系又有区别，用定义法，换元法。
解：（1）定义域为R，设f(x)=sin(3x+ )
f(-x)=sin[3(-x)+ ]=-sin(3x- )
∵ sin[3(-x)+ ]≠sin(3x+ )
sin[3(-x)+ ]≠-sin(3x+ )
∴ 函数y=sin(3x+ )不是奇函数也不是偶函数。
（2）函数y=sin(3x+ )的图象是轴对称图形，对称轴方程是3x+ =kπ+ 。
即x= (k∈Z)
函数y=sin(3x+ )的图象也是中心对称图形，∵ y=sinu图象的对称中心的坐标是(kπ,0)。
令3x+ =kπ，x= (k∈Z)。
∴ y=sin(3x+ )图象的对称中心的坐标是( ,0) (k∈Z)。
测试
选择题
1．y= 的定义域是（以下k∈Z）（ ）
(A)[2k ] (B)[2k ]
(C)[2k ] (D)(-∞,+∞)
2．f(x)= cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数，则θ=（ ）(以下k∈Z)
(A)kπ (B)kπ+ (C)kπ- (D)kπ+
3．在[ ]上与函数y=cos(x-π)的图象相同的函数是（ ）
(A)y= (B)y= (C)y=cos(x- ) (D)y=cos(-x-4π)
4．把函数y=sin(2x- )的图象向右平移 个单位，所得图像对应的函数是（ ）
(A)非奇非偶函数 (B)既是奇函数，又是偶函数
(C)奇函数 (D)偶函数
5．将函数y=sin( )的图象作如下的变换便得到函数y=sin x的图象（ ）
(A)向右平移 (B)向左平移 (C)向右平移 (D)向左平移
6．函数f(x)=sin(ωx+θ)·cos(ωx+θ) (ω>0)以2为最小正周期，且能在x=2时取得最大值，则θ的一个值是（ ）
(A)- π (B)- π (C) π (D)
7．ω是正实数，函数 在 上递增，那么（ ）
(A) (B) (C) (D)
8．y=cos( +2x)sin( -2x)的单调递增区间是（以下k∈Z）（ ）
(A)[ ] (B)[ ]
(C)[ ] (D)[ ]
9．函数y=3sin(x+ 的最大值为（ ）
(A)4 (B) (C)7 (D)8
10．当x∈( )时，f(x)=|sin(3kx+ )|有一个完整的周期，则k能取的最小正整数值是（ ）
(A)12 (B)13 (C)25 (D)26
答案与解析
答案：1、D 2、C 3、A 4、D 5、C 6、A 7、A 8、A 9、D 10、B
解析：
1．对于x∈R，-1≤sinx≤1，cos(sinx)>0恒成立，所以x∈R。
2．整理得到f(x)=2sin(+θ-3x)，则根据f(0)=0代入选项验证即可。
注：奇函数的一个性质：如果奇函数f(x)的定义域中有0，则f(0)=0（反之不一定成立）。
3．首先整理，y=cos(x-π)=-cosx，
y= =|cosx|=-cosx (∵x∈[]，cosx<0)
y= (x= 时无意义，显然不是答案)
y=cos(x- π)=-sinx，
y=cos(-x-4π)=cosx。
4．y=sin(2x- ) y=sin(2(x- )- )=-cos2x。
注：对于函数图象平移，掌握左加右减（向左平移时x加一个数，向右平移时x减一个数）的法则，还需注意，只是改变(x)。
5．y=sin x=sin[ (x- )+ ]， y=sin( x+ )→y=sin[ (x- )+ ]
即x变成x- ，所以是向右平移 个单位。
6．整理得f(x)= sin(2ωx+2θ)，由T= =2，ω= ，且x=2时，f(x)取最大值，代入选项验证即可。
7．令ωx=t，因为f(x)=2sint在[- ， ]上是增函数，
所以- ≤t≤ ，即- ≤ωx≤ ，- ≤x≤ ，
根据已知f(x)在[- ， ]上递增，所以 ，解出0<ω≤ 。
8．化简出y= - sin4x=- sin4x+ ，原题即求sin4x的递减区间，
2kπ+ ≤4x≤2kπ+ π ≤x≤ π。
9．注意到 ，化简原式y=8cos(x- )。
10．函数f(x)的周期T= ，根据题意T ，即 ，解出k≥4π。
注：函数f(x)=|sinωx|的周期是T= 。
含参数的三角函数问题
有关含参数的问题，因为能很好的考察分类讨论的数学思想和比较深刻地考察数学能力，在前几年的高考中一度成为热门。但是因为难度较大，近两年有所降温。含参数问题较多的出现在不等式和函数的有关问题中，在三角函数中也时有涉及。但因为三角函数在高考中多以低档题和中档题出现，本部分内容较难。
所谓的含参数，就是与变量有关。因此处理这类问题要有变量的思想，就是要把参数看作是一个运动的、一个变化的量。这个参数变化为不同的值时，可能对解题过程产生不同的影响，这就需要分类讨论。下面几个例题都是参变量与三角函数的图象与性质相结合的问题。
例1．若对于一切实数x，cos2x=acos2x+bcosx+c恒成立，那么a2+b2+c2=_______。
分析：当变量x变化时，cosx的值也在变化，但这个变化不能影响整个式子的值。
解：原式整理成：(a-2)cos2x+bcosx+c+1=0，即不论x取何值，这个式子恒成立，
则必须a-2=0，b=0，c+1=0同时成立，解出a=2，b=0，c=-1，所以a2+b2+c2=5。
注：要使acosx不受x值变化的影响，只能a=0。
例2．已知α,β∈[- ， ]，sinα=1-a, sinβ=1-a2, 又α+β<0, 求a的取值范围。
分析：要求变量a的取值范围，则必须根据已知条件找到一个含有a的不等式，同时注意本题中正弦函数的有界性。
解：因为α+β<0，则α<-β，同时α,-β∈[- ， ],
根据y=sinx在[- ， ]上是增函数，得到sinα<sin(-β)=-sinβ，
所以有 ，解出1<a≤ 。
注：本题主要考察三角函数的值域和灵活应用单调性。
例3．函数y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=- 对称，那么a的值是多少？
分析：函数f(x)的图象关于直线x=a对称，则有f(a+x)=f(a-x)
解：令f(x)=sin2x+acos2x，根据题意对于任意的x，f(- +x)=f(- -x)恒成立，
即sin(- +2x)+a·cos(- +2x)=sin(- -2x)+a·cos(- -2x)
sin(- +2x)+sin( +2x)=a[cos( +2x)-cos(- +2x)]
(1+a)sin2x=0
要使上式恒成立（不受x取值影响），必须1+a=0，即a=-1。
注：1、是不是有和例1类似的地方？
2、对于选择题，完全可以取关于x=- 对称的两个点代入验证，比如 。
例4．已知方程2sin2x-cos2x+2sinx+m=0有解，求实数m的取值范围。
分析：把变量m单独放在一边，考察另一边的取值范围。
解：由原式得到m=-3sin2x-2sinx+1，
令y=-3sin2x-2sinx+1，则y有最大最小值，只要m在这个范围内，原方程就有解，
再令t=sinx，则-1≤t≤1,求y=-3t2-2t+1的值域。根据二次函数的图象-4≤y≤ ，
即-4≤m≤ 时，原方程有解。
注：把变量分离，单独放在一边也是处理变量的一个技巧。下面例5也用到了。
例5．已知0≤θ≤ ，求使cos2θ+2msinθ-2m-2<0成立的实数m的取值范围。
解：原式即2m(sinθ-1)<1+sin2θ
当sinθ-1=0，即θ= 时，不论m取何值，原式成立，即m∈R.
当sinθ-1≠0，即θ≠ 时，原式即2m> (sinθ-1<0)
令y= ，则y是一个变量，要使2m>y成立，只要2m>y的最大值即可。
下面求y的最大值(0≤sinθ<1 0<1-sinθ≤1)
y=
=sinθ+
=sinθ+1+
=-[(1-sinθ)+ ]+2
∵ (1-sinθ)+ 在1-sinθ=1即θ=0时，取最小值3，
∴ y最大值=-1，2m>-1，m>- ，
所以当θ= 时，m取任意实数，原式都成立，
当0≤θ< 时，m>- 原式都成立。
注意：1、本题是一个综合题，属于较难的题目，考察的知识较多，但要体会变量的思想。
2、求函数y=x+ (a>0)的最值，可根据图像观察在(0,+∞)的图象，如图（是奇函数）。
总结：在例1，3，4，5中都体现了变量的思想，注意体会。例5比较深刻地考察了分类讨论的思想。另外，含参数问题往往和取值范围联系在一起，也就注定了要与不等式联系在一起。
高考精题
1．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间 上为减函数的是（ ）。
A、y=cos2x B、y=2|sinx| C、 D、y=-cotx
解：y=cos2x, ，周期是π，在区间 上是增函数，
y=2|sinx|，周期是π，在区间 上是减函数，
，至少可以判断，在区间 上不是减函数，
y=-cotx，在区间 上是增函数，∴应选B。
2．函数y=x+sin|x|, x∈[-π,π]的大致图象是（ ）。
解：由函数的奇偶性（非奇非偶）及特殊点的坐标先删去A、B、D。∴ 应选C。
3．设函数f(x)=sin2x,若f(x+t)是偶函数，则t的一个可能值是___。
解：画出f(x)=sin2x的草图，不难看出将图像向左水平移 ，就可得到关于y轴对称的图像，
∴ 应填 。
4. 函数y=-xcosx的部分图像是（ ）。
解：∵ f(x)=-xcosx，∴ f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x),
那么f(x)是奇函数(x∈R)，可在B、D中选，
又∵ 设图像上一点 ，在x轴下方，
∴ 应选D。
5．已知函数f(x)=x2+2x·tanθ-1， ，其中 。
（1）当 时，求函数f(x)的最大值与最小值；
（2）求θ的取值范围，使y=f(x)在区间 上是单调函数。
解：（1）当 时， ，
∴ 时，f(x)的最小值为 ，
x=-1时，f(x)的最大值为 。
（2）函数f(x)=(x+tanθ)2-1-tan2θ图像的对称轴为x=-tanθ，
∵ y=f(x)在区间[-1, ]上是单调函数，
∴ -tanθ≤-1或 ，
即tanθ≥1或tanθ≤ ,
因此，θ的取值范围是 。
评注：本题是二次函数与三角函数基本知识的综合题，问题（1）解中，得到二次函数的解析式后，要注意区间端点处的函数值与该函数的最值的正确比较，加以取舍。
第（2）问中，依题设f(x)在区间 上是单调函数，要分类考虑，若是单调递增，则-tanθ≤-1，若是单调递减，则 ，这一步是解题的关键，也是难点。
6．已知函数 x∈R。
（I）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（II）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：（I）
y取得最大值必须且只需
即 k∈Z。
所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为 .
（II）将函数y=sinx依次进行如下变换：
(i)把函数y=sinx的图像向左平移 ，得到函数 的图像；
(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图像；
(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变），得到函数 的图像；
(IV)把得到的图像向上平移 个单位长度，得到函数 的图像；
综上得到函数 的图像。
2．函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] .
3．函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是.
4．函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .
5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝.
6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝.
7．若cosx＝－, x∈(, π)，则x＝.
8．若sinx＝－, x∈(－, 0)，则x＝.
9．若3ctgx＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝.
二．基本要求：
1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；
2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsinx, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccosx, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；
3．符号arcsinx可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；
4．y＝arcsinx等价于siny＝x, y∈[－，], y＝arccosx等价于cosy＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；
5．注意恒等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sinx)＝x, x∈[－，], arccos(cosx)＝x, x∈[0, π]的运用的条件；
6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；
7．注意恒等式arcsinx＋arccosx＝, arctgx＋arcctgx＝的应用。
例一．下列各式中成立的是（C）。
（A）arcctg(－1)＝－ （B）arccos(－)＝－
（C）sin[arcsin(－)]＝－ （D）arctg(tgπ)＝π
解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π],
(D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。
例二．下列函数中，存在反函数的是（D）。
（A）y＝sinx, x∈[－π, 0] （B）y＝sinx, x∈[, ]
（C）y＝sinx, x∈[,] （D）y＝sinx, x∈[,]
解：本题是判断函数y＝sinx在哪个区间上是单调函数，由于y＝sinx在区间[,]上是单调递减函数， 所以选D。
例三． arcsin(sin10)等于（C）。
（A）2π－10 （B）10－2π （C）3π－10 （D）10－3π
解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相等，且该角度在[－, ]上。
由于sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－, ], 所以选C。
例四．求出下列函数的反函数，并求其定义域和值域。
（1）f (x)＝2sin2x, x∈[, ];（2）f (x)＝＋arccos2x.
解：(1) x∈[, ], 2x∈[, ], 2x－π∈[－, ], －2≤y≤2
由y＝2sin2x, 得sin2x＝, sin(2x－π)＝－sin2x＝－, ∴ 2x－π＝arcsin(－),
∴ x＝－arcsin, ∴ f －1(x)＝－arcsin, －2≤x≤2, y∈[, ].
(2) f (x)＝＋arccos2x, x∈[－, ], y∈[,],
∴ arccos2x＝y－, 2x＝cos(y－), x＝cos(y－)＝siny,
∴f －1(x)＝sinx , x∈[,], y∈[－, ].
例五．求下列函数的定义域和值域：
(1) y＝arccos; (2) y＝arcsin(－x2＋x); (3) y＝arcctg(2x－1),
解：(1) y＝arccos, 0<≤1, ∴ x≥1, y∈[0, ).
(2) y＝arcsin(－x2＋x), －1≤－x2＋x≤1, ∴ ≤x≤,
由于－x2＋1＝－(x－)2＋, ∴ －1≤－x2＋x≤, ∴ －≤y≤arcsin.
(3) y＝arcctg(2x－1), 由于2x－1>－1, ∴ 0< arcctg(2x－1)<, ∴ x∈R, y∈(0, ).
例六．求下列函数的值域：
(1) y＝arccos(sinx), x∈(－, ); (2) y＝arcsinx＋arctgx.
解：(1) ∵x∈(－, ), ∴ sinx∈(－, 1], ∴ y∈[0, ).
(2) ∵y＝arcsinx＋arctgx., x∈[－1, 1], 且arcsinx与arctgx都是增函数,
∴ －≤arcsinx≤, －≤arctgx≤, ∴ y∈[－,].
例七．判断下列函数的奇偶性：
(1) f (x)＝xarcsin(sinx); (2) f (x)＝－arcctgx.
解：(1) f (x)的定义域是R， f (－x)＝(－x)arcsin[sin(－x)]＝xarcsin(sinx)＝f (x),
∴ f (x)是偶函数;
(2) f (x)的定义域是R,
f (－x)＝－arcctg(－x)＝－(π－arcctgx)＝arcctgx－＝－f (－x),
∴ f (x)是奇函数.
例八．作函数y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π]的图象.
解：y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π], 得, 图象略。
例九．比较arcsin, arctg, arccos(－)的大小。
解：arcsin<, arctg<, arccos(－)>, ∴arccos(－)最大,
设arcsin＝α，sinα＝, 设arctg＝β, tgβ＝, ∴ sinβ＝<sinα, ∴ β<α,
∴ arctg< arcsin< arccos(－).
例十．解不等式：(1) arcsinx<arccosx; (2) 3arcsinx－arccosx>.
解：(1) x∈[－1, 1], 当x＝时, arcsinx＝arccosx, 又arcsinx是增函数,arccosx是减函数，
∴ 当x∈[－1, )时, arcsinx<arccosx.
(2) ∵ arccosx＝－arcsinx, ∴ 原式化简得4arcsinx>, ∴ arcsinx>＝arcsin,
∵ arcsinx是增函数, ∴ <x≤1.
三．基本技能训练题：
1．下列关系式总成立的是（B）。
（A）π－arccosx>0 （B）π－arcctgx>0 （C）arcsinx－≥0 （D）arctgx－>0
2．定义在(－∞, ∞)上的减函数是（D）。
（A）y＝arcsinx （B）y＝arccosx （C）y＝arctgx （D）y＝arcctgx
3．不等式arcsinx>－的解集是. 4．不等式arccosx>的解集是.
四．试题精选：
(一) 选择题：
1．cos(arccos)的值是（D）。
（A） （B） （C）cos （D）不存在
2．已知arcsinx>1，那么x的范围是（C）。
（A）sin1<x< （B）sinx<x≤ （C）sin1<x≤1 （D）
3．已知y＝arcsinx·arctg|x| (－1≤x≤1)， 那么这个函数（A）。
（A）是奇函数 （B）是偶函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
4．若a＝arcsin(－), b＝arcctg(－), c＝arccos(－)，则a, b, c的大小关系是（B）。
（A）a<b<c （B）a<c<b （C）c<a<b （D）c<b<a
5．已知tgx＝－, x∈(, π)，则x＝（C）。
（A）＋arctg(－)（B）π－arctg(－)（C）π＋arctg(－)（D）
6．函数f (x)＝2arccos(x－2)的反函数是（D）。
（A）y＝(cosx－2) (0≤x≤π) （B）y＝ cos(x－2) (0≤x≤2π)
（C）y＝ cos(＋2) (0≤x≤π) （D）y＝ cos＋2 (0≤x≤2π)
7．若arccosx≥1，则x的取值范围是（D）。
（A）[－1, 1] （B）[－1, 0] （C）[0, 1] （D）[－1, arccos1]
8．函数y＝arccos(sinx) (－<x<)的值域是（B）。
（A）(, ) （B）[0, ] （C）(, ) （D）[,]
9．已知x∈[－1, 0]，则下列等式成立的是（B）。
（A）arcsin＝arccosx （B）arcsin＝π－arccosx
（C）arccos＝arcsinx （D）arccos＝π－arcsinx
10．直线2x＋y＋3＝0的倾斜角等于（C）。
（A）arctg2 （B）arctg(－2) （C）π－arctg2 （D）π－arctg(－2)
(二) 填空题：
11．若cosα＝－ (<α<π)，则α＝. (用反余弦表示)
12．函数y＝(arcsinx)2＋2arcsinx－1的最小值是 －2 .
13．函数y＝2sin2x (x∈[－, ])的反函数是.
14．函数y＝arcsin的定义域是 x≤1或x≥3 ，值域是
15．用反正切表示直线ax－y＋a＝0 (a≠0)的倾斜角为α＝
(三) 解答题：
16．求下列函数的反函数：
(1) y＝3cos2x, x∈[－, 0]; (2) y＝π＋arccosx2 (0<x≤1).
解：(1) x∈[－, 0], ∴ 2x∈[－π, 0], 函数y＝3cos2x在定义域内是单值函数.
且－3≤y≤3. ∴ π＋2x∈[0, π], y＝3cos2x＝－3cos(π＋2x), cos(π＋2x)＝－,
∴ π＋2x＝arccos, ∴x＝arccos－,
∴y＝3cos2x, x∈[－, 0]的反函数是y＝arccos－, －3≤x≤3.
(2) ∵0<x≤1, π≤y<, ∴ arccosx2＝y－π, x2＝cos(y－π), x＝,
∴ 原函数的反函数是y＝, π≤x<.
17．求函数y＝(arccosx)2－3arccosx的最值及相应的x的值。
解：函数y＝(arccosx)2－3arccosx, x∈[－1, 1], arccosx∈[0, π]
设arccosx＝t, 0≤t≤π, ∴ y＝t2－3t＝(t－)2－,
∴ 当t＝时,即x＝cos时, 函数取得最小值－，
当t＝π时,即x＝－1时，函数取得最大值π2－3π.
18．若f (arccosx)＝x2＋4x, 求f (x)的最值及相应的x的值。
解：设arccosx＝t, t∈[0, π], x＝cost, 代入得f (t)＝cos2t＋4cost,
∴ f (x)＝cos2x＋4cosx, x∈[0, π], cosx∈[－1, 1], f (x)＝(cosx＋2)2－4,
∴ 当cosx＝－1时,即x＝π时，函数取得最小值－3.
当cosx＝1时,即x＝0时，函数取得最大值5.
19．(1)求函数y＝arccos(x2－2x)的单调递减区间; (2)求函数arctg(x2－2x)的单调递增区间。
解：(1) 函数y＝arccosu, u∈[－1, 1]是减函数，
∴ －1≤x2－2x≤1,1－≤x≤1＋, 又x2－2x＝(x－1)2＋1,
∴ 1≤x≤1＋时, u＝x2－2x为增函数，根据复合函数的概念知此时原函数为减函数。
(2) 函数y＝arctgu增函数, u∈R, 又x2－2x＝(x－1)2＋1,
∴ 当x≥1时，原函数是增函数。
20．在曲线y＝5sin(arccos)上求一个点，使它到直线x＋y－10＝0的距离最远，并求出这个最远距离
解：设arccos＝α, －3≤x≤3, cosα＝,
y＝5sinα＝5,
三角函数的性质和图象
[重点]：复合三角函数的性质和图象
[难点]：复合三角函数的图象变换
[例题讲解]
例1．求函数的定义域：f(x)=
解：
(1): 2kπ≤x≤(2k+1)π (k∈Z)
(2): -4<x<4
定义域为 。
注意：sinx中的自变量x的单位是“弧度”，x∈R。
例2．求y=cos( -2x)的递增区间。
分析（1）：该函数是y=cosu，u= -2x的复合函数，
∵ u= -2x为减函数，要求y=cos( -2x)的递增区间，只须求y=cosu的递减区间。
方法（1）：∵ y=cosu的递减区间为2kπ≤u≤π+2kπ (k∈Z)
∴ 令2kπ≤ -2x≤π+2kπ，- -kπ≤x≤ -kπ (k∈Z)
∵ -k与k等效，∴ 递增区间为[- +kπ, +kπ] (k∈Z)。
分析（2）：∵ cosu为偶函数，∴ y=cos(2x- )
设y=cost，t=2x- ，
∵ t=2x- 为增函数，要求y=cos(2x- )的递增区间，只须求y=cost的递增区间。
方法（2）：∵ y=cost的递增区间为π+2kπ≤t≤2π+2kπ (k∈Z)
∴ 令π+2kπ≤2x- ≤2π+2kπ， +kπ≤x≤ +kπ (k∈Z)
∴ 递增区间为 +kπ≤x≤ +kπ (k∈Z)。
注意：两种方法求得的结果表面上看不相同，但是从图上看两种形式所表示的范围完全相同。
例3．求函数y=sin2x+sinx·sin(x+ )的周期和值域。
分析：求函数的周期、值域、单调区间等，对于三角函数式常用的方法是转化为一个角的一个三角函数式。
解：y=
=
=
=
∴ T= =π，值域为[ ]。
例4．求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值。
分析：sinx+cosx与sinxcosx有相互转化的关系，若将sinx+cosx看成为整体，设为新的元，函数式可转化为新元的函数式，注意新元的取值范围。
解：设sinx+cosx=t，t∈[- , ]。
则(sinx+cosx)2=t2，即1+2sinxcosx=t2，sinxcosx= ，
y=t+ = (t2+2t)- = (t+1)2-1，
当t= 时，ymax= + 。
例5．判断下列函数的奇偶性
（1）y=sin(x+ )- cos(x+ )
（2）y=
分析：定义域为R，关于原点对称，经过等值变形尽量转化为一个角的一个三角函数式，再判断其奇偶性。
解：（1）y=2[ sin(x+ )- cos(x+ )]
=2sin[(x+ )- ]
=2sinx
∴ 函数为奇函数。
（2）∵ 从分母可以得出定义域x≠π+2kπ且 (k∈Z)，在直角坐标系中定义域关于原点不对称。
∴ 函数为非奇非偶函数。
例6．写出下列函数图象的解析式
（1）将函数y=sinx的图象上所有点向左平移 个单位，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得到所求函数的图象。
（2）将函数y=cosx的图象上所有点横坐标缩为原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移 个单位，得到所求函数的图象。
（1）分析：按图象变换的顺序，自变量x的改变量依次是：+ ； 倍。
图象的解析式依次为：y=sinx→y=sin(x+ )→y=sin( )。
解：所求函数图象的解析式为y=sin( ),也可以写为：y=sin (x+ ).
（2）分析：按图象变换的顺序，自变量x的改变量依次是：2倍；+ 。
图象的解析式依次为：y=cosx→y=cos2x→y=cos2(x+ )。
解：所求函数图象的解析式为y=cos2(x+ )，也可以写为：y=cos(2x+ )。
例7．已知函数y=sin(3x+ )
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数的对称性。
分析：函数的奇偶性与函数的对称性既有联系又有区别，用定义法，换元法。
解：（1）定义域为R，设f(x)=sin(3x+ )
f(-x)=sin[3(-x)+ ]=-sin(3x- )
∵ sin[3(-x)+ ]≠sin(3x+ )
sin[3(-x)+ ]≠-sin(3x+ )
∴ 函数y=sin(3x+ )不是奇函数也不是偶函数。
（2）函数y=sin(3x+ )的图象是轴对称图形，对称轴方程是3x+ =kπ+ 。
即x= (k∈Z)
函数y=sin(3x+ )的图象也是中心对称图形，∵ y=sinu图象的对称中心的坐标是(kπ,0)。
令3x+ =kπ，x= (k∈Z)。
∴ y=sin(3x+ )图象的对称中心的坐标是( ,0) (k∈Z)。
测试
选择题
1．y= 的定义域是（以下k∈Z）（ ）
(A)[2k ] (B)[2k ]
(C)[2k ] (D)(-∞,+∞)
2．f(x)= cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数，则θ=（ ）(以下k∈Z)
(A)kπ (B)kπ+ (C)kπ- (D)kπ+
3．在[ ]上与函数y=cos(x-π)的图象相同的函数是（ ）
(A)y= (B)y= (C)y=cos(x- ) (D)y=cos(-x-4π)
4．把函数y=sin(2x- )的图象向右平移 个单位，所得图像对应的函数是（ ）
(A)非奇非偶函数 (B)既是奇函数，又是偶函数
(C)奇函数 (D)偶函数
5．将函数y=sin( )的图象作如下的变换便得到函数y=sin x的图象（ ）
(A)向右平移 (B)向左平移 (C)向右平移 (D)向左平移
6．函数f(x)=sin(ωx+θ)·cos(ωx+θ) (ω>0)以2为最小正周期，且能在x=2时取得最大值，则θ的一个值是（ ）
(A)- π (B)- π (C) π (D)
7．ω是正实数，函数 在 上递增，那么（ ）
(A) (B) (C) (D)
8．y=cos( +2x)sin( -2x)的单调递增区间是（以下k∈Z）（ ）
(A)[ ] (B)[ ]
(C)[ ] (D)[ ]
9．函数y=3sin(x+ 的最大值为（ ）
(A)4 (B) (C)7 (D)8
10．当x∈( )时，f(x)=|sin(3kx+ )|有一个完整的周期，则k能取的最小正整数值是（ ）
(A)12 (B)13 (C)25 (D)26
答案与解析
答案：1、D 2、C 3、A 4、D 5、C 6、A 7、A 8、A 9、D 10、B
解析：
1．对于x∈R，-1≤sinx≤1，cos(sinx)>0恒成立，所以x∈R。
2．整理得到f(x)=2sin(+θ-3x)，则根据f(0)=0代入选项验证即可。
注：奇函数的一个性质：如果奇函数f(x)的定义域中有0，则f(0)=0（反之不一定成立）。
3．首先整理，y=cos(x-π)=-cosx，
y= =|cosx|=-cosx (∵x∈[]，cosx<0)
y= (x= 时无意义，显然不是答案)
y=cos(x- π)=-sinx，
y=cos(-x-4π)=cosx。
4．y=sin(2x- ) y=sin(2(x- )- )=-cos2x。
注：对于函数图象平移，掌握左加右减（向左平移时x加一个数，向右平移时x减一个数）的法则，还需注意，只是改变(x)。
5．y=sin x=sin[ (x- )+ ]， y=sin( x+ )→y=sin[ (x- )+ ]
即x变成x- ，所以是向右平移 个单位。
6．整理得f(x)= sin(2ωx+2θ)，由T= =2，ω= ，且x=2时，f(x)取最大值，代入选项验证即可。
7．令ωx=t，因为f(x)=2sint在[- ， ]上是增函数，
所以- ≤t≤ ，即- ≤ωx≤ ，- ≤x≤ ，
根据已知f(x)在[- ， ]上递增，所以 ，解出0<ω≤ 。
8．化简出y= - sin4x=- sin4x+ ，原题即求sin4x的递减区间，
2kπ+ ≤4x≤2kπ+ π ≤x≤ π。
9．注意到 ，化简原式y=8cos(x- )。
10．函数f(x)的周期T= ，根据题意T ，即 ，解出k≥4π。
注：函数f(x)=|sinωx|的周期是T= 。
含参数的三角函数问题
有关含参数的问题，因为能很好的考察分类讨论的数学思想和比较深刻地考察数学能力，在前几年的高考中一度成为热门。但是因为难度较大，近两年有所降温。含参数问题较多的出现在不等式和函数的有关问题中，在三角函数中也时有涉及。但因为三角函数在高考中多以低档题和中档题出现，本部分内容较难。
所谓的含参数，就是与变量有关。因此处理这类问题要有变量的思想，就是要把参数看作是一个运动的、一个变化的量。这个参数变化为不同的值时，可能对解题过程产生不同的影响，这就需要分类讨论。下面几个例题都是参变量与三角函数的图象与性质相结合的问题。
例1．若对于一切实数x，cos2x=acos2x+bcosx+c恒成立，那么a2+b2+c2=_______。
分析：当变量x变化时，cosx的值也在变化，但这个变化不能影响整个式子的值。
解：原式整理成：(a-2)cos2x+bcosx+c+1=0，即不论x取何值，这个式子恒成立，
则必须a-2=0，b=0，c+1=0同时成立，解出a=2，b=0，c=-1，所以a2+b2+c2=5。
注：要使acosx不受x值变化的影响，只能a=0。
例2．已知α,β∈[- ， ]，sinα=1-a, sinβ=1-a2, 又α+β<0, 求a的取值范围。
分析：要求变量a的取值范围，则必须根据已知条件找到一个含有a的不等式，同时注意本题中正弦函数的有界性。
解：因为α+β<0，则α<-β，同时α,-β∈[- ， ],
根据y=sinx在[- ， ]上是增函数，得到sinα<sin(-β)=-sinβ，
所以有 ，解出1<a≤ 。
注：本题主要考察三角函数的值域和灵活应用单调性。
例3．函数y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=- 对称，那么a的值是多少？
分析：函数f(x)的图象关于直线x=a对称，则有f(a+x)=f(a-x)
解：令f(x)=sin2x+acos2x，根据题意对于任意的x，f(- +x)=f(- -x)恒成立，
即sin(- +2x)+a·cos(- +2x)=sin(- -2x)+a·cos(- -2x)
sin(- +2x)+sin( +2x)=a[cos( +2x)-cos(- +2x)]
(1+a)sin2x=0
要使上式恒成立（不受x取值影响），必须1+a=0，即a=-1。
注：1、是不是有和例1类似的地方？
2、对于选择题，完全可以取关于x=- 对称的两个点代入验证，比如 。
例4．已知方程2sin2x-cos2x+2sinx+m=0有解，求实数m的取值范围。
分析：把变量m单独放在一边，考察另一边的取值范围。
解：由原式得到m=-3sin2x-2sinx+1，
令y=-3sin2x-2sinx+1，则y有最大最小值，只要m在这个范围内，原方程就有解，
再令t=sinx，则-1≤t≤1,求y=-3t2-2t+1的值域。根据二次函数的图象-4≤y≤ ，
即-4≤m≤ 时，原方程有解。
注：把变量分离，单独放在一边也是处理变量的一个技巧。下面例5也用到了。
例5．已知0≤θ≤ ，求使cos2θ+2msinθ-2m-2<0成立的实数m的取值范围。
解：原式即2m(sinθ-1)<1+sin2θ
当sinθ-1=0，即θ= 时，不论m取何值，原式成立，即m∈R.
当sinθ-1≠0，即θ≠ 时，原式即2m> (sinθ-1<0)
令y= ，则y是一个变量，要使2m>y成立，只要2m>y的最大值即可。
下面求y的最大值(0≤sinθ<1 0<1-sinθ≤1)
y=
=sinθ+
=sinθ+1+
=-[(1-sinθ)+ ]+2
∵ (1-sinθ)+ 在1-sinθ=1即θ=0时，取最小值3，
∴ y最大值=-1，2m>-1，m>- ，
所以当θ= 时，m取任意实数，原式都成立，
当0≤θ< 时，m>- 原式都成立。
注意：1、本题是一个综合题，属于较难的题目，考察的知识较多，但要体会变量的思想。
2、求函数y=x+ (a>0)的最值，可根据图像观察在(0,+∞)的图象，如图（是奇函数）。
总结：在例1，3，4，5中都体现了变量的思想，注意体会。例5比较深刻地考察了分类讨论的思想。另外，含参数问题往往和取值范围联系在一起，也就注定了要与不等式联系在一起。
高考精题
1．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间 上为减函数的是（ ）。
A、y=cos2x B、y=2|sinx| C、 D、y=-cotx
解：y=cos2x, ，周期是π，在区间 上是增函数，
y=2|sinx|，周期是π，在区间 上是减函数，
，至少可以判断，在区间 上不是减函数，
y=-cotx，在区间 上是增函数，∴应选B。
2．函数y=x+sin|x|, x∈[-π,π]的大致图象是（ ）。
解：由函数的奇偶性（非奇非偶）及特殊点的坐标先删去A、B、D。∴ 应选C。
3．设函数f(x)=sin2x,若f(x+t)是偶函数，则t的一个可能值是___。
解：画出f(x)=sin2x的草图，不难看出将图像向左水平移 ，就可得到关于y轴对称的图像，
∴ 应填 。
4. 函数y=-xcosx的部分图像是（ ）。
解：∵ f(x)=-xcosx，∴ f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x),
那么f(x)是奇函数(x∈R)，可在B、D中选，
又∵ 设图像上一点 ，在x轴下方，
∴ 应选D。
5．已知函数f(x)=x2+2x·tanθ-1， ，其中 。
（1）当 时，求函数f(x)的最大值与最小值；
（2）求θ的取值范围，使y=f(x)在区间 上是单调函数。
解：（1）当 时， ，
∴ 时，f(x)的最小值为 ，
x=-1时，f(x)的最大值为 。
（2）函数f(x)=(x+tanθ)2-1-tan2θ图像的对称轴为x=-tanθ，
∵ y=f(x)在区间[-1, ]上是单调函数，
∴ -tanθ≤-1或 ，
即tanθ≥1或tanθ≤ ,
因此，θ的取值范围是 。
评注：本题是二次函数与三角函数基本知识的综合题，问题（1）解中，得到二次函数的解析式后，要注意区间端点处的函数值与该函数的最值的正确比较，加以取舍。
第（2）问中，依题设f(x)在区间 上是单调函数，要分类考虑，若是单调递增，则-tanθ≤-1，若是单调递减，则 ，这一步是解题的关键，也是难点。
6．已知函数 x∈R。
（I）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（II）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：（I）
y取得最大值必须且只需
即 k∈Z。
所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为 .
（II）将函数y=sinx依次进行如下变换：
(i)把函数y=sinx的图像向左平移 ，得到函数 的图像；
(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图像；
(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变），得到函数 的图像；
(IV)把得到的图像向上平移 个单位长度，得到函数 的图像；
综上得到函数 的图像。
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
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