如何利用matlab创建Hilbert矩阵

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希尔伯特矩阵（Hilbert matrix）是一种数学变换矩阵，正定，且高度病态（即，任何一个元素发生一点变动，整个矩阵的值和逆矩阵都会发生巨大变化），病态程度和阶数相关。在线性代数中，希尔伯特矩阵是一种系数都是单位分数的方块矩阵。
方法/步骤
数学形式
Hilbert矩阵是一种著名的“坏条件”矩阵。该矩阵的元素的数学表达式是a(i,j)=1/(i+j-1)。下面就展示一下五阶的Hilbert矩阵的数学表示形式。

用for循环生成Hilbert矩阵
下面我们就根据数学表达式，借助for循环生成Hilbert矩阵，具体的运算代码和结果如下图所示，为了和第一步中数学表示形式的Hilbert矩阵做比较，本次计算也选择5阶。

矩阵空间预配置可提高运行速度
在对矩阵的运算中，对矩阵空间进行预配置可以提高运行速度，尤其对高阶矩阵的运算速度影响明显。我们可以通过计时函数tic和toc进行验证。tic表示计时开始，toc表示计时结束。图一为不进行矩阵空间预配置所用时间，为3.2464秒；图二是进行矩阵空间预配置时计算所用时间，为0.072233。可以很明显看出提高了运行速度。

向量化编程产生Hilbert矩阵
当我们采用向量化编程产生Hilbert矩阵时，可以大大提高运行速度，所以在平时编程时应尽量采用向量化编程，但须对matlab有较高的认知。如图所示所用时间为0.031616秒，所用时间比前两种都短。

用matlab自带函数eig计算
这里我们用matlab自带的产生Hilbert矩阵的函数hilb(n)计算一下。所用的时间为0.003173秒。可以看出所用的时间最短，所以在编程时我们应该尽量使用matlab已经有的相应功能的函数，如实在找不到在自己变。这样可以节省计算时间。

希尔伯特矩阵的逆
此外matlab还自带有求希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb(n)，其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。我们看一下，具体代码和结果如下图。有图可以看出用时还是比较短的。

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注意事项
本经验中计算所用的时间受电脑配置、matlab版本、该程序是否首次运行等因素影响，其结果会有所变化。