用范德蒙行列式计算4阶行列式，第一行：1 1 1 1，第二行：4 3 7 -...

Question

用范德蒙行列式计算4阶行列式，第一行：1 1 1 1，第二行：4 3 7 -5，第三行：16 9 49 15，第四行：64 27 343 -125，要有过程，
如果这里不好写的话，把过程发到我的邮箱：modesty01@163.com

Answer 1

原行列式=D1+D2

= 3*4*(9*8*12-10*14)

= 8688

一个e阶的范德蒙行列式由e个数c₁，c₂，…，cₑ决定，它的第1行全部都是1，也可以认为是c₁，c₂，…，cₑ各个数的0次幂，它的第2行就是c₁，c₂，…，cₑ（的一次幂），它的第3行是c₁，c₂，…，cₑ的二次幂，它的第4行是c₁，c₂，…，cₑ的三次幂，…，直到第e行是c₁，c₂，…，cₑ的e-1次幂。

行列式简介：

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

Answer 2

1 1 1 1
4 3 7 -5
16 9 49 15
64 27 343 -125
=
1 1 1 1
4 3 7 -5
4^2 3^2 7^2 (-5)^2 -10
4^3 3^3 7^3 (-5)^3

按第4列将行列式分拆
=
1 1 1 1 1 1 1 0
4 3 7 -5 4 3 7 0
4^2 3^2 7^2 (-5)^2 + 4^2 3^2 7^2 -10
4^3 3^3 7^3 (-5)^3 4^3 3^3 7^3 0
= D1+D2
D1为范德蒙行列式,
D1 =
=(3-4)(7-4)(-5-4)(7-3)(-5-3)(-5-7)
=-1*3*(-9)*4*(-8)*(-12)

D2 按第4列展开
D2 = 10*
1 1 1
4 3 7
4^3 3^3 7^3
= 10* (4+3+7)* (3-4)(7-4)(7-3)
= 10*14*(-1)*3*4
参考: http://zhidao.baidu.com/question/328490914.html

所以原行列式=D1+D2
= 3*4*(9*8*12-10*14)
= 8688.

Answer 3

下一行最前最后两数之和是下一行最前最后两数之和的两倍，从n=6可以看出，第n行等于第一行的最前最后两个数字之和乘以2的（n-2）的次方。所以当n=2009时，第2009行为（1+2009)*2的2007次方，即2010*2的2007次方。
一、1 2 3 4 5 6
二、 3 5 7 9 11
三、 8 12 16 20
四、 20 28 36
五、 48 64
六、 112
七、 224
八、 448
N、 112*[2^(n-6)]
=7*[2^4]*[2^(n-2)]
=7*[2^(n-2)] （ n>=6 ）
当n=2009时 将N代入上式得
7*[2^(2009-2)] =7*［2^2007]
即 7乘以 2的2007次方