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Question

求证：当n为正整数时，n^3一n的值必是6的倍数。

Answer 1

证明：
如果一个数是6的倍数，那么这个数一定可以同时被2和3整除。即证明n^3-n一定能同时被2和3整除即可。n>0,
n^3-n=n*n*n-n=n(n^2-1)
（一）n为正偶数时，
（1）n被2整除。
（2）设n^2-1=3x，3x+1=n^2，则3x+1一定为偶数，3x为奇数，x一定为整数。x带回原式子。n^2-1能被3整除。，
则n^3-n能同时被2和3整除，即能被6整除。
（二）n为正奇数时，
设n^2-1=6y，n^2=6y+1,n^2为奇数，则6y是偶数，y则是整数，则n^2-1能直接被6整除，则n（n^2-1）能被6整除，即n^3-n能被6整除。

综上所诉，n^3-n能被6整除。

Answer 2

n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1)
因n是正整数，则n-1、n、n+1是相邻的三个整数
相邻的两个整数必然有一个是2的倍数，相邻的三个整数必然有一个是3的倍数
所以它们的乘积即是2的倍数也是3的倍数
所以n^3一n的值必是6的倍数

如果觉得上面说得太简单，可以按下面做
n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1)
先设n=2k和n=2k-1（k为正整数)两种情况来说明n^3-n是2的倍数
再设n=3K-2、n=3k-1和n=3k（k为正整数)三种情况来说明n^3-n是3的倍数
综上可知n^3-n是6的倍数

Answer 3

方法1 n^3-n=n(n+1)(n-1)，只要证明三个因数有2的倍数和3的倍数即可。
对n分三种情况讨论：(能被3整除的数，被3除余1的数，被3除余2的数)
①当n=3k时， 若k=2m(即k为偶数，下同)，则n=6m，此时n是6的倍数，所以原数是6的倍数；
若k=2m-1(即k为奇数，下同)，则n=6m-3=3(m-1)，此时n+1=6m-2=2(3m-1)，
n(n+1)=6(2m-1)(3m-1)，所以原数是6的倍数。
②当n=3k+1时，若k=2m，则n-1=6m，所以原数是6的倍数；
若k=2m-1，则n=6m-2=2(3m-1)，n-1=6m-3=3(2m-1)，
n(n-1)=6(3m-1)(2m-1)，所以原数是6的倍数。
③当n=3k+2时，若k=2m，则n=6m+2=2(3m+1)，n+1=6m+3=3(2m+1)，
n(n+1)=6(3m+1)(2m+1)，所以，原数是6的倍数；
若k=2m-1，则n+1=6m，所以原数是6的倍数。
综上所述，当n为正整数时，n^3一n的值必是6的倍数。
方法2 数学归纳法(略)