设二维随机变量(X,Y)的概率密度为φ(x,y)=e^-(x+y),x>0,y>0 =0 其他 则X-Y的概率密度为

Question

φ(x,y)=e^-(x+y),x>0,y>0
=0 其他

Answer 1

设新的变量 U=X-Y,

U~R

FU(u)=P(U<=u)
=P(X-Y<=u)
x-y>0时
=∫(0~无穷) ∫(0~y+u) e^-(x+y) dxdy
=∫(0~无穷)e(-y) {[ - e^(-x) ](0~y+u) }dy
=∫(0~无穷)e^(-y)(1-e^(-y-u))dy
=-e^(-y)+(1/2)e^(-2y-u)](0~无穷)
=1-(1/2)e^(-u)

x-y<=0时
FU(u)=∫(-u~无穷) ∫(0~y+u) e^-(x+y) dxdy
=∫(-u~无穷)e^(-y)(1-e^(-y-u))dy
=-e^(-y)+(1/2)e^(-2y-u)](-u~无穷)
=e^(u)-(1/2)e^(u)
=(e^u )/2

fU(u)=dFU(u)/du=(1/2)e^(-u) if x-y>0
=(1/2)e^ u if x-y<0
所以
fU(u)=(e^-|u|)/2 (for all u∈R)

追问

能解释一下上下限是如何确定的吗？谢谢

追答

画图
插入图片审核太慢，所以我不插了

如果找x-y0的情况
我们积x(0~y+u) x从y轴开始出发，被直线x=y+u挡住去路
然后在此基础上，y就是从x轴出发，然后积到无限
如果先积y还要分段，麻烦，不建议

2）x-y=
fU(u)=dFU(u)/du=(1/2)e^(-u) if x-y>=0
=(1/2)e^ u if x-y<0

不这么写步骤里老师可能会扣分
是连续函数，刚才没有分析x-y=0没有关系的