数学史上的3次危机都是什么(简单概括)?无理数是怎样产生的?尺规作图3大不能问题?

如题所述

第1个回答  2011-08-03
无理数的发现──第一次数学危机  

  大约公元前5世纪,不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究,把几何、算术、天文、音乐称为"四艺",在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为:宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比,毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理,但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比(不可通约)的情形,如直角边长均为1的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条,导致了当时认识上的"危机",从而产生了第一次数学危机。  

  到了公元前370年,这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法,出现在欧几里得《原本》第5卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理,仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整数及其比来表示,反之却可以由几何量来表示出来,整数的权威地位开始动摇,而几何学的身份升高了。危机也表明,直觉和经验不一定靠得住,推理证明才是可靠的,从此希腊人开始重视演译推理,并由此建立了几何公理体系,这不能不说是数学思想上的一次巨大革命!

 无穷小是零吗?──第二次数学危机  

  18世纪,微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用,大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。  

  1734年,英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》,矛头指向微积分的基础--无穷小的问题,提出了所谓贝克莱悖论。他指出:"牛顿在求xn的导数时,采取了先给x以增量0,应用二项式(x+0)n,从中减去xn以求得增量,并除以0以求出xn的增量与x的增量之比,然后又让0消逝,这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量,又令增量为零,也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零,召之即来,挥之即去,这是荒谬,"dx为逝去量的灵魂"。无穷小量究竟是不是零?无穷小及其分析是否合理?由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。  

  18世纪的数学思想的确是不严密的,直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是:没有清楚的无穷小概念,从而导数、微分、积分等概念也不清楚,无穷大概念不清楚,以及发散级数求和的任意性,符号的不严格使用,不考虑连续就进行微分,不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

  直到19世纪20年代,一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始,到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束,中间经历了半个多世纪,基本上解决了矛盾,为数学分析奠定了严格的基础。

悖论的产生---第三次数学危机   

  数学史上的第三次危机,是由1897年的突然冲击而出现的,到现在,从整体来看,还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支,并且实际上集合论成了数学的基础,因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。  

  1897年,福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后,康托发现了很相似的悖论。1902年,罗素又发现了一个悖论,它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的,它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则:他给所有不给自己刮脸的人刮脸,并且,只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时,就认识到了这种情况的悖论性质:"理发师是否自己给自己刮脸?"如果他不给自己刮脸,那么他按原则就该为自己刮脸;如果他给自己刮脸,那么他就不符合他的原则。  

  罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后,在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道:"一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了,即在工作完成之时,它的基础垮掉了,当本书等待印出的时候,罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。

  承认无穷集合,承认无穷基数,就好像一切灾难都出来了,这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除,矛盾可以解决,然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理,简直难说孰真孰假,可是又不能把它们都消除掉,它们跟整个数学是血肉相连的。所以,第三次危机表面上解决了,实质上更深刻地以其它形式延续着。追问

尺规作图3大不能问题呢?

第2个回答  2012-09-09
立方倍积:做一条线段,使它构成的正方体体积等于已知线段构成正方体体积的2倍。
三等分角:把一个角三等分。
化圆为方:做一条线段,使其构成的正方形面积等于已知线段为半径构成的圆的面积本回答被网友采纳
第3个回答  2012-05-29
第一次危机发生在公元前580~568年之间的古希腊,数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。第二次数学危机的解决使微积分更完善第三次数学危机,发生在十九世纪末。当时英国数学家罗素把集合分成两种。
教材以古希腊的数学家计算面积等于2的正方形边长活动入手,发现这个边长不能化成分数,进而发现既不是有限小数,又不是无限循环小数。朱同学借助科学计算器,(用无穷逼近法求近似值)计算x2=2中的x,,感受x是一个无限不循环小数,对概念有了进一步的理解。勿容置疑,这样处理较传统教材是一大进步。
立方倍积:做一条线段,使它构成的正方体体积等于已知线段构成正方体体积的2倍。
三等分角:把一个角三等分。
化圆为方:做一条线段,使其构成的正方形面积等于已知线段为半径构成的圆的面积。
第4个回答  2011-08-05
悖论

数学史上的3次危机都是什么(简单概括)?无理数是怎样产生的?尺规作图3...
悖论的产生---第三次数学危机 数学史上的第三次危机,是由1897年的突然冲击而出现的,到现在,从整体来看,还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支,并且实际上集合论成了数学的基础,因此集合论中悖论的发现自然地...

数学史上的三次危机?无理数是怎样产生的?尺规作图三大不可能问题?
在2400年前的古希腊已提出这些问题,直至1837年,法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后,“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题。【尺规作图不能问题的另类做法】■总述 人们用尺规解几何三大作图题屡遭失败之后,一方面...

数学史上的三次危机?无理数是怎样产生的?尺规作图三大不可能问题?
第一次危机发生在公元前580~568年之间的古希腊,数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。第二次数学危机的解决使微积分更完善第三次数学危机,发生在十九世纪末。当时英国数学家罗素把集合分成两种。教材以古希腊的数学家计算面积等于2的正方形边长活动入手,发现这个边长不能化成分数,进而发现既不是有...

中国数学文化史的论文 要标准格式的
而数学历史上的三大危机分别是古希腊时期的不可公度量,17、18世纪微积分基础的争论和20世纪初的集合论悖论,它同前三个高峰有着惊人的密切联系,这种联系绝不是偶然,它是数学作为一门追求完美的科学的必然。学生可以从这种联系中发现数学追求的是清晰、准确、严密,不允许有任何杂乱,不允许有任何含糊...

辩论赛资料-成功的标尺是过程
到19世纪末,全部数学几乎都建立在 集合论的基础之上了。就在这时,集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果,特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论,它极 为简单、明确、通俗。于是,数学的基础被动摇了,这就是所谓的第三次“数学危机”。 此后,为了克服这些悖论,数学家们做了大量研究工作,由此产生了大量新...

什么是难题
圆周率π=3.1415926...是无理数,尺规作图是不可能作出无理数来,所以用尺规作图的方式解决化圆为方的问题才被证明是不可能实现的。三等分任意角:三等分任意角的题也许比那两个问题出现更早,早到历史上找不出有关的记载来。但无疑地它的出现是很自然的,纪元前五、六百年间希腊的数学家们就...

数学史是这么样的?
1.数学萌芽期(公元前600年以前);2.初等数学时期(公元前600年至17世纪中叶);3.变量数学时期(17世纪中叶至19世纪20年代);4.近代数学时期(19世纪20年代至第二次世界大战);5.现代数学时期(20世纪40年代以来)。三、数学史的意义 (1)数学史的科学意义 每一门科学都有其发展的历史,...

数学小知识20字二年级
1、没有最大的质数。欧几里得给出了优美而简单的证明。 2、哥德巴赫猜想:任何一个偶数都能表示成两个质数之和。陈景润的成果为:任何一个偶数都能表示成一个质数和不多于两个质数的乘积之和。 3、费马大定理:x的n次方+y的n次方=z的n次方,n>2时没有整数解。欧拉证明了3和4,1995年被英国数学家 安德鲁*怀尔...

所有的无理数都可以通过尺规作图在数轴上表示出来吗?
答:不能。应该是所有的有理数的n次方根可以尺规作图在数轴上表示出来。无理数包含所有的无限不循环小数,除了有理数的n次方根,包括有些可以作图的无理数的n次方根可以尺规作图之外;非有理数指数函数、非有理数对数函数的等式,都不可以尺规作图。超越数不可以尺规作图,所有的超越数在数轴上没...

关于数学的小知识
3,π π是数学中最著名的数。忘记自然界中的所有其他常数也不会忘记它,π总是出现在名单中的第一个位置。如果数字也有奥斯卡奖,那么π肯定每年都会得奖。π或者pi,是圆周的周长和它的直径的比值。它的值,即这两个长度之间的比值,不取决于圆周的大小。无论圆周是大是小,π的值都是恒定不变的...

相似回答