求通过两点M（1,1,1）和N（0,1，-1）且垂直于平面x+y+z=0的平面方程

Question

请写具体步骤，最好写明白，嘿嘿，谢谢

Answer 1

我来试试吧...

解：平面x+y+z=0的法向量为n=(1,1,1)
MN=(-1.0.-2)
设所求平面的法向量为m=(x,y,z)
则有 m·n=x+y+z=0
m·MN=-x-2z=0
解得x=-2z
y=z
z=z, 令z=1，则m=(-2,1,1)
故所求平面为 -2x+y+z=0

追问

平面法向量和该平面什么关系？

追答

垂直的关系...法向量垂直于平面上的任意一条直线
设平面AX+BY+CZ+D=0,则其法向量为n=(A,B,C)
证明一下吧..
设平面上不同的两点A(x1,y1,z1) B(x2,y2,z2)
AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
n·AB=A(x2-x1)+B(y2-y1)+C(z2-z1)=(AX1+BY1+CZ1)-(AX2+BY2+CZ2)=-D+D=0
故n⊥AB

Answer 2

通过两点M（1,1,1）和N（0,1，-1）且垂直于平面x+y+z=0的平面方程应为-2x+y+z=0。因
所求平面的法向量为m=(x,y,z)，有m·n = x+y+z = 0；m·MN=-x-2z=0。则x=-2z； y=z