数学问题中的求尾数问题

Question

1.求2^2009+3^2009+4^2009+5^2009+6^2009的个位数，^表示次数。 答案解析的是2+3+4+5+6=20 请问这是什么来的？
2.求2007^2007+2008^2008+2009^2009的个位数。 答案解析的是7^3+8^4+9^1的个位数为8 请问这是怎么来的

Answer 1

2009这个数比较麻烦
一时间看不出来是素数还是合数
可以这么做
2^2009+3^2009+4^2009+5^2009+6^2009
=2*2^2008+3*3^2008+4*4^2008+5*5^2008+6*6^2008
=2*16^502+3*81^502+4*256^502+5*625^502+6*1296^502
往下一步需要你学习过二项展开（好像是这么叫的，就是(a+b)^n的展开式）
因为16=10+6 81=80+1.........1296=1290+6
所以
原式=k*10+2*6^502+3*1^502+4*6^502+5*5^502+6*6^502
k表示一个比较大的数
进一步化简
=k*10+3+5*5^502+12*6^502
=(k+6^502)*10+3+5*25^251+2*36^251
再用前面的方法
原式=(k')*10+3+5*5^251+2*6^251
=(k')*10+3+25*5^250+12*6^250
=(k'+2*5^250+6^250)*10+3+5*25^125+2*36^125
再次的
原式=(k'')*10+3+5*5^125+2*6^125
这里可以继续往下做，但是有个比较简单的方法（其实在第一次化完之后就可以这么考虑）
5^125末尾一定是5，5*5^125末尾也一定是5
6^125=（5+1）^125展开之后前面的125项的末尾要么是5，要么是0，最后一项是1
再把上式乘以2， 那么2*6^125的末尾一定是2
所以这个式子的个位应该和3+5+2的个位0一样
所以个位一样

第二问方法一样

Answer 2

尾数是1的不管几次方都是1
2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=16
2^5=32
可以发现尾数上乘方每4次一个循环，其他就不举例了，原因稍微想想就知道了，不多解释了
其中5，6和1一样，尾数不变
4，9是2次一循环
2^2009+3^2009+4^2009+5^2009+6^2009
可以看做2^2008*2+3^2008*3+5^2009+6^2009
马上就知道尾数是2+3+5+6
第2个问题就不解释了

Answer 3

2^n的位数依2,4,8,6变化,3^n的位数依3,9,7,1变化
以下同理