已知二次函数f﹙x﹚＝ax²＋bx,f﹙x＋1﹚为偶函数，f﹙x﹚的图像与y＝x相切

Question

﹙2﹚若常数k≥2／3,存在[m,n]﹙m＜n﹚使得f﹙x﹚在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn],求区间[m,n]

Answer 1

已知二次函数f(x)＝ax²＋bx，f(x＋1)为偶函数，f(x)的图像与y＝x相切
﹙2﹚若常数k≥2/3，存在[m, n] ﹙m＜n﹚使得f(x)在区间[m, n]上的值域恰好为[km, kn]，求区间[m, n]。

解：
因为f(x＋1)=a*(x+1)^2＋b*(x+1)=a*x^2+(2a+b)*x+(a^2+b)，
f(x＋1)为偶函数，所以一次项系数为0，
即(2a+b)=0。 …………①
联立y=a*x^2＋b*x，y=x，得：x=a*x^2＋b*x，
a*x^2＋(b-1)*x=0， …………②
因为f(x)的图像与y＝x相切，所以上述方程的判别式为0，即b-1=0，所以b=1。
把b=1代入①式得：a=-1/2。
所以f(x)＝-1/2*x^2＋x。

联立y=f(x)， y=k*x得：k*x=-1/2*x^2＋x，
所以x^2+2*(k-1)*x=0， …………③
令Δ>0得：(k-1)^2>0，所以k≠1。

所以题目有误（或者就是题目不全），当k=1时，这样的m、n不存在。

方程③的两根分别为x1=0, x2=2(1-k)。
又因为k≥2/3，所以，
（a）当2/3≤k<1时，x2>0=x1，m=0, n=2(1-k)。
（b）当k>1时，x2<0=x1，n=0, m=2(1-k)。

追问

题没问题

追答

如果认为题目没有问题，可以算一下k=1时，m、n的取值，看看能不能找到这样的m、n。

Answer 2

解：
令g(x)=f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)
∵f(x+1)是偶函数
∴g(x)=g(-x)
即：a(x+1)^2+b(x+1)=a(-x+1)^2+b(-x+1)
解得：b=-2a
∵f﹙x﹚的图像与y＝x相切
∴x=ax²＋bx
△=(b-1)^2=0,即：b=1
∴a=-1/2,b=1
f(x)=-x^2/2+x
(2)
要分类讨论
n<1
m>1
略