求初中数学一元二次方程的竞赛题（稍微难点的，最好附上答案。）。

Answer 1

设x2-px+q=0的两根为a，b，1、求以a3,b3为二根的一元二次方程 2、若a3,b3为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0，求所有这样的一元二次方程
首先必须要说明 两个都是实数根 这个要交代下
(1) x^2-px+q=0

a+b=p
a*b=q

令a^3=A , b^3=B A+B=a^3+b^3==(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)[(a+b)^2-3ab]
=p*(p^2-3q)
A*B=a^3*b^3=(ab)^3
=q^3
则 以a3,b3为二根的一元二次方程：
Y^2-[p*(p^2-3q)]Y+q^3=0
化简 Y^2-[p^3-3pq]Y+q^3=0

(2)由 a3,b3为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0
则 p^3-3pq=p p^3-（3q+1)p=0 p[p^2-(3q+1)]=0
q^3=q
即 当 q=0 时 p= 0 或1 或-1
当 q=1 时 p= 0 或2 或-2
当 q=-1 时 p= 0

则所有条件的方程：当 q=0 时 （1）x^2=0 (2) x^2+1=0 （3）x^2-1=0
当 q=1 时（4）x^2+1=0（5）x^2+2x+1=0 (6)x^2-2x+1=0
当 q=-1 时 (6) x^2-1=0

而满足条件的 一元二次方程 应是以上的方程 ：x^2=0
x^2-1=0
x^2+2x+1=0
x^2-2x+1=0

Answer 2

(|a|+|b|)^2=a^2+b^2+2|ab|
a+b=5,ab=1-m^2
如果ab>=0,1-m^2>=0,
-1<=m<=1时a^2+b^2+2|ab|=(a+b)^2=25,
|a|+|b|=5,显然满足要求
m>1或m<-1时，ab=1-m^2<0,
a^2+b^2+2|ab|=(a-b)^2=(a+b)^2-4ab
=25-4+4m^2<=36,
4m^2<=15,-√15/2<=m<=√15/2,合并m>1或m<-1，注意在合并第一种情况得到-√15/2<=m<=√15/2