sinx连续性的证明. Δy=sin(x+Δx)-sin(x)=2sin(Δx/2)*cos(x+Δx/2)

Question

sinx连续性的证明.
Δy=sin(x+Δx)-sin(x)=2sin(Δx/2)*cos(x+Δx/2)
然后知道cos(x+Δx/2)<=1。继而用极限求得2sin(Δx/2)趋向于0。
我想问，为什么要选择cos(x+Δx/2)来判断它小于1而不是选择2sin(Δx/2)判断小于1。
求指教。麻烦详细点。本人资质有限，谢谢/

Answer 1

一个趋近于0的数乘以一个有限的数，其结果仍然是趋近于0，从而可以证明了Δy趋近于0，这就证明了函数y是一个连续性的函数。Δx/2趋近于0，因而2sin(Δx/2)趋向于0。无论是正弦函数还是余弦函数，其值肯定是<=1的，这里之所以要强调cos(x+Δx/2)<=1，仅仅是为了说明cos(x+Δx/2)是个有限的数，从而论证函数后面的公式是一个趋近于0的数乘以了一个有限的数，结果是趋近于0的，证明了函数是有限的。

Answer 2

因为你所要证明的
Δy=sin(x+Δx)-sin(x)=2sin(Δx/2)*cos(x+Δx/2)
在Δx->0 Δy->0
选择无穷小*有界=无穷小 这个极限推论即可
如果选择 2sin(Δx/2)首先不是小于1
而是小于等于2
这是由于三角函数的有界性
这个只是小问题
本质是你这样做
lim Δx->0=cos(x+Δx/2)=cosx
关于x是个变量 并不是无穷小
无法证明limΔx->0 Δy=0
希望对你有帮助

Answer 3

因为cos(x+△x/2)中含有x，由三角函数的取值范围知其小于1，但是，因为x是任意的，不能判断其趋近于0
如果选择sin(△x/2)小于1的话，就不能由cos(x+△x/2)趋近于0得出△y趋近于0的结论

Answer 4

Δy=sin(x+Δx)-sin(x)=2sin(Δx/2)*cos(x+Δx/2)
这里要用无穷小量一个很重要的性质，无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量，Δx是无穷小量所以sin(Δx/2)是无穷小量，2sin(Δx/2)*cos(x+Δx/2)也是无穷小量。