线性代数问题，实对称矩阵A正定，则A与单位矩阵E合同，这个怎么证明啊？

Answer 1

实对称矩阵可正交对角化
即存在正交矩阵Q满足 Q^-1AQ = diag(λ1,...,λn), Q^-1=Q^T
其中λi是A的特征值.

由A正定, 故 λi>0, i=1,2,...,n.
令 C = diag(√λ1,...,√λn)
P = QC, 则 P可逆, 且 P^TAP = (QC)^TA(QC) = C^TQ^TAQC = diag(1,1,...,1)=E.
即 A 与 E 合同.

Answer 2

如图