判断函数f(x)=x+4/x在x∈(0,正无穷)上的单调性并证明你的结论?

Question

(1)判断函数f(x)=x+4/x在x∈(0,正无穷)上的单调性并证明你的结论?
(2) 猜想函数f(x)=x+a/x,(a>0)在x∈（负无穷，0）∪(0,正无穷)上的单调性（只需写结论，不用证明）
(3)利用题(2)的结论，求使不等式x+9/x--2m²+m<0在x∈[1,5]上恒成立时的实数m的取值范围？

Answer 1

(1)判断函数f(x)=x+4/x在x∈(0,正无穷)上的单调性并证明你的结论?
任设0<x1<x2<2，则有：x2-x1>0 4-x2x1>0
f(x2)-f(x1)=x2+4/x2-x1-4/x1=(x2-x1)(x2x1-4)/(x2x1)<0
f(x)在区间(0,2)上单调减少，同理可证在区间（2，正无穷）上单调增加

(2) 猜想函数f(x)=x+a/x,(a>0)在x∈（负无穷，0）∪(0,正无穷)上的单调性（只需写结论，不用证明）
（0，根号a),(负无穷，-根号a)是单调递减区间
（-根号a,0)、（根号a,正无穷）是单调增加区间
(3)利用题(2)的结论，求使不等式x+9/x--2m²+m<0在x∈[1,5]上恒成立时的实数m的取值范围？
x+9/x--2m²+m<0
x+9/x<2m^2-m在[1,5]上恒成立，
f(x)=x+9/x在区间【1，3】上递减，在区间[3,5]上单调增加
最大值为f(1)或f(5)
f(1)=1+9/1=10
f(5)=5+9/5=34/9
最大值为f(1)=10
f(1)=10<2m^2-m
2m^2-m-10>0
(2m-5)(m+2)>0
m>5/2或m<-2

Answer 2

1)(0,2)上单调递减，（2，正无穷）单调递增，导数为1-4/X^2,显然2的左边导数小于0，函数递减，2的右边导数大于0，函数递增
2）同1）只要把2改为根号a
3）移项得2m²-m>x+9/x，令g（x)=x+9/x,，先求g（x)的最大值，利用2）的结论得g（x)在x∈[1,5]时的最大值是g（1）=10，所以2m²-m>10，所以M<-2或M>5/2

参考资料：X