一道数学题 已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c (1)若a＞b＞c，且f(1)=0，证明f（x）必有两个零点。

Question

（2）设x1,x2∈R，且f(x1)≠f(x2),若方程f(x)=½[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根，证明一个实根属于区间（x1,x2）
要过程、详解
最好顺便讲一下高中数学的学习方法

Answer 1

△=b^2-4ac
因为f(1)=0----a+b+c=0 a=-b-c
△=b^2+4(b+c)*c=b^2+4bc+4c^2=(b+2c)^2>=0
若b+2c=0
则b=-2c 所以a=2c-c=c不满足a>c舍
故△>0 所以f(x)必有2个零点

第二个想想 ==

Answer 2

证明：（1）∵f（1）=0，∴a+b+c=0．又∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，即ac＜0．
又∵△=b2-4ac≥-4ac＞0，∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根．
所以，函数f（x）必有两个零点．
（2）令g（x）=f（x）-1 /2 [f（x1）+f（x2）]，
则g（x1）=f（x1）-1/ 2 ×[f（x1）+f（x2）]=[f(x1)-f(x2)]/ 2 ，
g（x2）=f（x2）-1 /2 ×[f（x1）+f（x2）]=-[f(x1)-f(x2) ]/2 ，
∴g（x1）•g（x2）=[f(x1)-f(x2)]/ 2 •[f(x2)-f(x1)]/ 2 =-1/ 4 [f（x1）-f（x2）]²
∵f（x1）≠f（x2），∴g（x1）•g（x2）＜0．
∴g（x）=0在（x1，x2）内必有一实根．
∴方程f（x）=1/ 2 [f（x1）+f（x2）]在（x1，x2）内必有一实根．

Answer 3

1. 由题意可知f(1)=a+b+c=0，f'(x)=2ax+b，则f'(1)=2a+b，又a>b>c则2a+b不等0，所以f(x)必有两个零点。
2.因为f(x)在R上是连续的，则对于任意的x1,x2 f(x1)!=f(x2)，f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]的一个实根总在区间(x1,x2)上
高中数学嘛，多做题，熟练了就好

Answer 4

尊敬的楼主，第一题你可以用△来判断（参照mickmort1996的方法），也可以用两点式结合反证法来做，也可以用skies457 的方法（不过要结合图形的性质，所以讲清楚比较麻烦）
第二题的话skies457 的方法是对的（其实这是闭区间上连续函数的一个性质），不过我怀疑这个定理高中应该不可以用的吧。。。所以我用高中常用的方法来证明一下
令f(x1)>f(x2),构造函数F（x）=f（x）-½[f(x1)+f(x2)]
∴F（x1）>0,F（x2）<0,由零点定理·，得必存在·一点ε∈﹙x1，x2﹚使得F（ε）=0，则原命题得证