指数函数题，数学高手近！

Answer 1

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问题描述:

1、使等式：根号下（a－2）*（a^2－4)＝（2-a）*根号下（a＋2）成立的实数a的取值范围是什么？

2、设函数f(x)＝（a*2^x－1）/2^x＋1的定义域为R并且对任意的实数x都有f(x)+f(-x)＝0，求：

(1)实数a的取值；

(2)函数的值域。

3、已知函数f(x）＝a^2x＝2a^x－3（其中a>0且a不等于1),在区间[-1,1]上有最大值32,求此函数在区间[-1,1]上的最小值.

4、设f(x)＝（a^2x）/（a^2x＋a）（a>1)，若b＋c＝1，试求：

(1)f(b)+f(c)的值;

(2)f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+f(4/1001)+……＋f（999/1001）＋f（1000/1001）。

5、解方程

(1)根号下〔（4^（x^2)＋x－0.5）〕＝四次根号下2

(2)3^（x＋1）＋9^x－18＝0

解析:

1.【解】

(a²-4)√(a-2)＝(2-a)√(a+2)

√(a-2)有意义，有a≥2

当a＝2时，原方程成立

当a＞2时，原方程化为(a-2)√(a+2)√(a+2)√(a-2)＝-(a-2)√(a+2)

两边同除以(a-2)√(a+2)，得√(a+2)√(a-2)＝-1，显然不成立

综上，a＝2

2.【解】

(1) f(x)＝(a*2^x-1)/(2^x+1)

f(x)＋f(-x)

＝(a*2^x-1)/(2^x+1)＋[a*2^(-x)-1]/[2^(-x)+1]

＝(a*2^x-1)/(2^x+1)＋(a-2^x)/(1+2^x)

＝a－1

由题意，f(x)＋f(-x)＝0，故a－1＝0，a＝1

(2) f(x)＝(2^x-1)/(2^x+1)＝1－2/(2^x+1)

因2^x＞0，有2^x+1＞1，0＜2/(2^x+1)＜2，-1＜1－2/(2^x+1)＜1

所以值域为(-1,1)

3.【解】

f(x)＝a^2x＋2a^x－3＝(a^x)²＋2a^x－3＝(1+a^x)²－4，x∈[-1,1]时

(1) 当0＜a＜1时，有a^x∈[a,1/a]，由于0＜1+a＜1+1/a

当x＝-1时，f(x)取得最大值(1+1/a)²－4＝32，解得a＝1/5

当x＝1时，f(x)取得最小值(1+a)²－4＝-64/25

(2) 当a＞1时，有a^x∈[1/a,a]，由于0＜1+1/a＜1+a

当x＝1时，f(x)取得最大值(1+a)²－4＝32，解得a＝5

当x＝1时，f(x)取得最小值(1+1/a)²－4＝-64/25

综上，f(x)在[-1,1]上的最小值为-64/25

4.【解】

(1) f(x)＝(a^2x)/(a^2x+a)＝1－a/(a^2x+a)＝1－1/[a^(2x-1)+1]

f(1-x)＝[a^2(1-x)]/[a^2(1-x)+a]＝1/[1+a^(2x-1)]

有f(x)＋f(1-x)＝1，所以f(b)＋f(c)＝f(b)＋f(1-b)＝1

(2) f(1/1001)＋f(2/1001)＋…＋f(999/1001)＋f(1000/1001)

＝[f(1/1001)+f(1000/1001)]＋[f(2/1001)+f(999/1001)]＋…＋[f(500/1001)+f(501/1001)]

＝1＋1＋…＋1（共500个1）

＝500

5.【解】

(1) √(4^x²+x-1/2)＝(4√)2

两边平方得：4^x²＋x－1/2＝√2

当x＝1/2时，4^x²＝√2，方程成立，因此x＝1/2是根

（可以判定方程还有一个实根在(1/2-√2,-√2/2)上，很抱歉，偶无能为力）

(2) 3^(x+1)＋9^x－18＝0

化为(3^x)²＋3(3^x)－18＝0，而3^x＞0，解得3^x＝3，x＝1

补1.【解】

a^1.5－a^-1.5＝(a^0.5)³－(a^-0.5)³

＝(a^0.5-a^-0.5)[(a^0.5)²+(a^0.5)(a^-0.5)+(a^-0.5)²]

(a^1.5-a^-1.5)/(a^0.5-a^-0.5)

＝(a^0.5)²＋(a^0.5)(a^-0.5)＋(a^-0.5)²

＝(a^0.5+a^-0.5)²－(a^0.5)(a^-0.5)

＝2²－1＝3

补2.【解】

(1) f(x)＝(x^3-x^-3)/2，定义域(-∞,0)∪(0,+∞)

f(-x)＝[(-x)^3-(-x)^-3]/2＝(-x^3+x^-3)/2＝-f(x)，所以f(x)是奇函数

在定义域上有f'(x)＝(3/2)(x^2+x^-4)＞0，f(x)在定义域上单调递增

即单调增区间：(-∞,0)和(0,+∞)（在各自范围内单调递增）

(2) f(x²)＝(x^6-x^-6)/2

f(x)g(x)＝[(x^3-x^-3)/2][(x^3+x^-3)/2]＝(x^6-x^-6)/4

有f(x²)＝2f(x)g(x)，对所有x∈R成立

f(4)－2f(2)g(2)＝f(9)－2f(3)g(3)＝0

补3.【解】

f(x)＝(log2)(1-x)

设任意x1,x2，满足x1＜x2＜1

有1－x1＞1－x2＞0，令k＝(1－x1)/(1－x2)，则k＞1，(log2)k＞0

有f(x1)＝(log2)(1-x1)＝(log2)[k(1-x2)]

＝(log2)k＋(log2)(1-x2)＞(log2)(1-x2)＝f(x2)

因此f(x)在(-∞,1)上是减函数