大侠 我想请教一道初二的几何题 直角三角形ABC.角C是直角，AC得四，BC得三，AB得五，点P在AC上，点Q在BC上

Question

其中PQ与AB平行。 我想问 答案里 第三部 BQ的5X/8是怎么出来的
原题是这个 △abc,∠c=90,ac=4,bc=3,ab=5,pq//ab,p在ac上,在ab上一点m,△pqm成等腰直角三角形,求pq的长
答案是：当PM=PQ时
AP：PM=AP：PQ=PQ：CQ=5：3
PQ=X，CP=4X/5，AP=5X/3
4X/5+5X/3=4，12X+25X=60，X=60/37
当QM=QP时
PQ=X，CQ=3X/5，BQ=5X/4
3X/5+5X/4=3，12X+25X=60，X=60/37
当PM=QM时
做MN垂直PQ于N，得MN=PQ/2
PQ=X，MN=X/2，CQ=3X/5，BQ=5X/8
3X/5+5X/8=3，24X+25X=120，X=120/49
我想问答案里 第三部 BQ=5X/8是怎么得来的 请详细一点！ 求救啊！~~~~~~~

Answer 1

作PM垂直PQ交AB与点M，作CE⊥AB，
∵PQ∥AB，
∴CE⊥PQ与点D，
∴PM=DE，
若PQ=PM，则：三角形PQM为等腰直角三角形，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴CA⊥CB，
设：PQ=PM=x，
∵CE×AB=AC×BC，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴CE= 12/5
∵CD：CE=PQ：AB，
（12/5 -x）：12/5 =x：5，
∴x= 60/37
∴当PQ=60/37 时，AB上存在一点M使得三角形PQM为等腰直角三角形．

取PQ的中点N，作NM垂直AB于M，
则PM=QM，当MN= PQ/2时，△PQM为等腰直角三角形．
由△CPQ∽△CAB知，
（CM-MN）/CM=PQ/AB，AB×（CM- PQ/2）=CM×PQ，
5×（ 12/5-PQ/2 ）= ×PQ，
PQ=120/49
祝您愉快