怎么证明刘维尔定理：定理叙述如下：假设u是R^n上的有界调和函数，则u是常数。万分感谢！

Question

怎么证明刘维尔定理：定理叙述如下：假设u是R^n上的有界调和函数，则u是常数。万分感谢！

Answer 1

任取两点a和b，分别以a和b为球心，R为半径做两个闭球B_a和B_b
当R->+oo时，lim V(B_a\B_b)/V(B_a) = 0 （V表示体积）
也就是说两个球趋于重合
利用调和函数的均值性质，f(a)和f(b)分别是f在B_a和B_b上的平均值，
f在B_a∩B_b上的均值记为u，在B_a\B_b上的均值记为v，在B_b\B_a上的均值记为w
那么f(a) = [V(B_a∩B_b)*u + V(B_a\B_b)*v] / V(B_a)
f(b) = [V(B_a∩B_b)*u + V(B_b\B_a)*w] / V(B_b)
注意V(B_a)=V(B_b)，V(B_a\B_b)=V(B_b\B_a)，
所以f(a)-f(b)=V(B_a\B_b)/V(B_a) * (v-w)
当R->+oo时V(B_a\B_b)/V(B_a)->0，而(v-w)是有界量，所以f(a)-f(b) ->0，即f(a)=f(b)