求函数极值的四个步骤

Answer 1

求函数极值的四个步骤如下：

第一步：用笔在草稿纸上，求出函数的驻点和不可导的点。

第二步：列表分析，确定函数的单调区间。

第三步：从表中找出单调性发生变化的交界点(即极值点)。

第四步：最后求出所有极值点处的函数值，即得所求函数的极值。

例题：

求函数f(x,y)=x^3+y^3-2x^2-2y^2+6x的极值

应该使fx=0，fy=0得到四个点，再代入值比较大小。

fx=3x^2-4x+6>0恒成立

fy=3y^2-4y=0得到y=0或者y=4/3

定理1（必要条件）： 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零

fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0。

定理2（充分条件）： 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0，令fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,y0) = C，

则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：

（1）AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值；

（2）AC-B2<0时没有极值；

（3）AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数z = f(x,y)的极值的求法叙述如下：

第一步 解方程组fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，求得一切实数解，即可求得一切驻点；

第二步 对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A、B和C；

第三步 定出AC-B2的符号，按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。