曲线积分和曲面积分时，不是能用曲线和曲面方程带入积分函数简化吗？

Question

曲线积分和曲面积分时，不是能用曲线和曲面方程带入积分函数简化吗，如果这样的话，第二类封闭曲面积分比如对dxdy积分用曲面方程化成xy的函数对dydz化成yz的函数，同理dzdx化成zx的函数，这样一用高斯公式求偏导不都是0吗？格林公式有同样的疑惑，不知道关键错在哪了，希望大家帮助一下！对了，还有一个问题，关于斯托克斯公式,边界曲线所围的曲面不止一个啊，化成曲面积分时结果不影响吗

Answer 1

我来回答你，是将曲线或者曲面的边界代入被积函数，比如球面方程 x²+y²+z²=a²（注意：这是球面方程，而非实心球体的方程，除非是x²+y²+z²≦a²,才是球体方程） 是将a²代入被积式.。
举例 ,曲面积分 ∫∫（x²+y²+z²）dxdy =a²∫∫dxdy
再举一个曲面积分例子∫∫x²dydz + y²dzdx + z² dxdy (积分区域为球面 x²+y²+z²=a²外侧) 按照你说的意思就是∫∫x²dydz + y²dzdx + z² dxdy = （这一步的时候已经将曲面积分转化为了二重积分了，只是多了一个正负号和双值函数的区别）∫∫（a²-z²-y²）dydz +（a²-x²-z²）dzdx + (a²-x²-y²)dxdy 再用高斯公式，这样是错误的。
事实上，这一题目可以用先高斯公式∫∫x²dydz + y²dzdx + z² dxdy 分别对x²、y²、z²求导数，直接转化为三重积分，最后用三重积分的对称性结果为0 。 还可以对∫∫x²dydz + y²dzdx + z² dxdy 使用轮换对称性=3∫∫x²dydz （由被积式和积分曲面的特点考虑）=3×2∫∫（a²-x²-y²）（±）dydz =0（这里将z²=a²-x²-y²代入，意思就是对xy坐标面进行有向投影，分为上下两个半球，上半球取正号，下半球去负号，所以结果为0）。懂了吧 ？

Answer 2

曲线积分（曲面积分）可以用曲线（曲面）函数化简被积函数。用格林公式或高斯公式时，第一步要严格应用公式，当然要先求导。一般能应用到格林公式或高斯公式的场合，都要自己创造公式条件，添加辅助线（面）使区域闭合，在整个区域应用公式后，还要减去辅助线（面）上的单独的曲线积分（曲面积分），这时才用到化简被积函数。

Answer 3

如果在第二个例子中加上（被积函数）除以x²+y²+z²,此时可以直接用a²代替，岂不是说明有矛盾了，还是说不能用a²直接代入，求高手解答

Answer 4

看不懂你的问题。