二次函数的极值是怎样求的？

Answer 1

二次函数的一般形式是 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是实数且 a ≠ 0。

要求二次函数的极值（最大值或最小值），可以使用以下公式：

1. 当 a > 0 时，二次函数的极小值发生在顶点处，顶点的 x 坐标为 -b/(2a)，对应的 y 坐标即为函数的最小值。

 极小值：f(-b/(2a))

2. 当 a < 0 时，二次函数的极大值发生在顶点处，顶点的 x 坐标为 -b/(2a)，对应的 y 坐标即为函数的最大值。

 极大值：f(-b/(2a))

需要注意的是，极值的存在性还需要考虑二次函数的开口方向和相关的条件。当 a > 0 时，二次函数开口向上，存在最小值；当 a < 0 时，二次函数开口向下，存在最大值。

这个公式可以帮助我们快速求解二次函数的极值点，从而进行函数图像的绘制、优化问题的求解等。

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二次函数求极值在许多实际问题中有广泛的应用

1. 优化问题：

在许多优化问题中，需要找到最大值或最小值。二次函数的极值问题可以转化为求顶点的问题，通过求解极值，可以找到最优解。例如，在生产成本、利润最大化等经济学和管理学领域的问题中，可以利用二次函数求极值来优化决策。

2. 抛物线运动：

当物体以抛物线轨迹运动时，其高度随时间的变化可以用二次函数表示。求解该二次函数的极值可以帮助确定物体的最高点或最低点，从而了解抛物线运动的特性。

3. 函数图像绘制：

极值点是二次函数图像的关键特征之一。通过求解极值，可以确定函数的最高点或最低点，进而绘制出准确的二次函数图像。这对于形象地展示函数的形状、特性和变化趋势非常重要。

4. 物理学应用：

在物理学中，例如在力学和光学等领域，二次函数求极值的应用非常广泛。例如，可以使用二次函数求极值来确定物体自由落体过程中的最大高度、最长视线距离等。

这些是二次函数求极值的一些应用场景。通过求解极值，我们可以优化决策、了解物体运动特性、准确绘制函数图像以及解决实际问题。根据具体的问题和需求，选择适当的二次函数模型进行分析和计算，可以得到有意义的结果。

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二次函数求极值例题

例题：求函数 f(x) = 2x² + 3x - 5 的极值。

解答：

首先，我们可以确定这是一个开口向上的抛物线，因为 a 的系数为正数。

要求极值，我们需要找到顶点的坐标。顶点的 x 坐标可以通过公式 x = -b/(2a) 求得。

给定二次函数 f(x) = 2x² + 3x - 5，我们可以计算出：

a = 2

b = 3

c = -5

将这些参数带入公式，我们可以计算出顶点的 x 坐标：

x = -b/(2a) = -3/(2*2) = -3/4

现在，我们可以计算顶点的 y 坐标。将 x = -3/4 带入原函数 f(x) = 2x² + 3x - 5，我们可以计算出：

f(-3/4) = 2(-3/4)² + 3(-3/4) - 5 = 2(9/16) - 9/4 - 5 = 9/8 - 9/4 - 5 = -23/8

因此，函数 f(x) = 2x²+ 3x - 5 的顶点坐标为 (-3/4, -23/8)，其中 x = -3/4 是极值点的 x 坐标，对应的 y 坐标为 -23/8。

所以，该二次函数的极小值为 -23/8。