关于极限等价

Question

当X->0+时，cos(x^2) 等价于 1 ? 不应该是等价于x^2么?? 还是是因为X->0+不是取向于0的问题???

Answer 1

当x→0时，常用的等价无穷小有如下：
sinx~x~tanx~(e^x-1)~ln(1+x)
(1-cosx)~(1/2)x^2
[(1+x)^a-1]~ax
(x-sinx)~(1/6)x^3
以上是较为常用的代换。

如何确定是否该使用等价代换：
当X->0+或X->0或X->0-时，如果需要代换的部分（用f(x)表示）f(x)→0，那么f(x)就可以进行对应的代换。
一般来说，只有当f(x)作为所求表达式的一个因子的时候，可以用相应代换；那么特殊的情况下，f(x)与所求表达式是加减关系时，不一定不能用代换，但是加减关系用代换的错误率极大，一般初学高等数学的同学无法准确把握，建议加减不用代换。

另：代换中更一般的处理：
当x→0时，f(x)→0，那么有如下：
sinf(x)~f(x)~tanf(x)~(e^f(x)-1)~ln(1+f(x))
(1-cosf(x))~(1/2)[f(x)]^2
[(1+f(x))^a-1]~af(x)
(f(x)-sinf(x))~(1/6)f(x)^3

具体你的问题：
一般在求解极限时，要每做一步都要看看有没有极限是常数的因子；cos(x^2) 就是极限为1的因子，应该果断将其拿到极限号外，将表达式简化，再继续向下做。

Answer 2

当X->0+时，sin(x^2) 等价x^2
cos(x^2)此时不是无穷小，不存在等价的问题，它的极限可直接算出来，就是1.

Answer 3

当X->0+时，sin(x^2) 等价于x^2.