证明不等式： 当x＞1时,e^x＞e*x

Question

运用拉格朗日中值定理，要详细过程

Answer 1

拉格朗日中值定理又称拉氏定理。 　　如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]，使得 　　f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a）
设f（x）=e^x-e*x ，f'(x)=e^x-e
对于任意x＞1，函数f(t)，在（1，x）上可导，[1,x]上连续
则必有一ξ∈[1,x]，使得 　　f'(ξ)*(x-1)=f(x)-f(1）f'(ξ)=e^ξ-e
当ξ＞1时，f'(ξ)=e^ξ-e＞0
当ξ=1时，f'(ξ)=0，但因为f(x)-f(1）≠0，所以ξ不等于1，ξ∈（1,x]，f'(ξ）＞0
f(x)=f(1)+f'(ξ)*(x-1)=0+f'(ξ)（x-1）
因为f'(ξ）＞0，x＞1，所以f(x)＞0
e^x-e*x＞0，e^x＞e*x

Answer 2

证明：

构造函数f(x)=e^x-ex
显然f(x)在[1,+∞)上连续，在(1,+∞)上可导
任取a>1, 则f(x)在[1,a]上连续，在(1,a)上可导
由拉格朗日中值定理知，则必至少存在一ξ∈[1,a]，使得
f(a)-f(1)=f'(ξ)(a-1)
即e^a-ea-(e-e)=(e^ξ-e)(a-1)>0
∴ e^a>ea
由a的任意性知
当x＞1时,e^x＞ex

证毕

Answer 3

证：令f（t）=e^t 对f（t）在[1，x]上满足Lagrange定理条件，根据定理，应有
f（x）-f（1）=f’（￡）（x-1），0<￡<x
即 e^x-e=(x-1)e^￡ ，e^￡=（e^x-e）/(x-1) ——①
又 1<￡<x 则 e^1<e^￡ ——②
将①代入②中得 （e^x-e）/(x-1)>e (x>1) 即 e^x-e>(x-1)e，得 e^x>ex
所以 当x>1时，e^x>ex

Answer 4

可以证明e^（x-1)>x => e^(x-1)-x>0 令F（x)=e^(x-1)-x 则求F'(x)=e^(x-1)-1 当x>1时F'(X)>0则原函数为增函数，F(x=1)=0 所以当x>1时则F(X)>0 即e^(x-1)-x>0 => e^(x-1)>x => e^x>e*x