已知函数f(x)=x^3+3ax^2+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行。

Question

已知函数f(x)=x^3+3ax^2+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行。
（1） 求函数的单调区间
（2） 求函数的极大值和极小值的差
（3） 当x属于[1，3]时，f(x)大于1-4c^2恒成立，求实数c 的取值范围

要详细过程。

Answer 1

1、先对函数求导 得3x^2+6ax+3b 在2处取极值 则 把2带入导函数的0 所以 12+12a+3b=0 在1处和直线平行 则导数应为-3 所以3+6a+3b=-3 联立两式的a=-1 b=0 再把a b带进导函数可求得减区间为（0 2） 其他的为增区间
2、在0 和2处分别取得极大极小值 带进函数 相减得4
3、在[1 3 ]直间 2处取得最小值 把2带进函数得c-4 所以可得不等式c-4 >= 1-4c^2(最小值都大于1-4c^2才能保证恒成立) 可解的c>=1 c<=-5/4

Answer 2

（1）f(x)导数=3x^2+6ax+3b 由题意12+12a+3b=0 3+6a+3b=-3 所以a=-1 b=0
故3x^2-6x>0得x<0或x>2为增 0<x<2 为减函数
（2）所以f(x)=x^3-3x^2+c f(0)-f(2)=4
(3)只要1-4c^2<-4+c 即可 所以c>1或c<-5/4

Answer 3

1）f(x)导数=3x^2+6ax+3b 由题意12+12a+3b=0 3+6a+3b=-3 所以a=-1 b=0
故3x^2-6x>0得x<0或x>2为增 0<x<2 为减函数
（2）所以f(x)=x^3-3x^2+c f(0)-f(2)=4
(3)只要1-4c^2<-4+c 即可 所以c>1或c<-5/4