求解：一道美国微积分课本上的题

Question

题目是这样的：
“使f(x)=0 (x为有理数）
1 (x为无理数） ，
g(x)=0 (x为有理数）
x (x为无理数）
求lim f(x) , lim g(x)。”
x-0 x-0

个人认为两道题答案应均为不存在，因为f(x)在0与1之间震荡（oscillate），g(x)在0与任意无理数之间震荡，都不会有一个特定的极值，但是答案是这样的：

“lim f(x)不存在，因为f(x)在x接近0时在0与1之间震荡；lim g(x)=0因为x越接近0，g(x)就越接近零。”

如此我就不明白了：这本课本上讲“极值是在自变量接近某值时函数所接近的值”，也就是一个趋势问题，g(x)在总趋势上看似是接近0，但在微观上他仍然是在震荡，所以不应该有极值。（个人认为）

请各位大虾指教（答案尽量简单些，小弟在上高中……）
应要求附加原题：
121.Let f(x)=0, if x is rational
1, if x is irrational
and
g(x)=0, if x is rational
x, if x is irrational
Find (if possible) lim f(x) and lim g(x)
x-0 x-0

答案：lim f(x) does not exist because f(x) oscillates between two fixed values as x approaches 0;
lim g(x) = 0 because, as x gets incresingly closer to 0, the values of g(x) become incresingly closer to 0.

(Houghton, Calculus)

针对“小南VS仙子”老师的答案：
如果如此的话那么lim (x*cos(1/x)) (x-0)的答案应该是什么呢？从[0,1]或[-1,0]区间总体上来看，y值却是在接近x，但是我认为这样也说的通:
lim (x*cos(1/x)) = lim x * lim cos(1/x) = 0 * 不存在 = 不存在

问题在于：到底怎样才算是宏观？怎样才算微观？小弟认为这应该没有一个绝对的概念。

Answer 1

这个比较好理解啊，帮助你理解下，但不是专业术语哈。你想，先看x从负无穷到0的过程，显然振荡是存在的，但是所谓的振幅是越变越小的，举个例子，当x从－1走到0的过程中，g(x)取值可以理解为－1...0...-1/2...0...－0.000000000000001...0...这样我们看到g(x)的取值越来越趋近于x轴，即g(x)＝0直线。所以从极限定义上看，当x无限趋近于0时候，取有理数，g(x)为0，取无理数，g(x)趋近于0。就具备了极限条件，我们就说其极限存在，为0。同理，再看x从正无穷到0，显然右极限也为0，所以极限是存在的。
另外楼主提到了微观，我们所说的都不是微观上，因为一微观相当于提高了精确度，比如说g(x)=1/x，求当x趋向于无穷大时候，g(x)的极限，我们知道结果是0，但是严格来看，x无论取多大，1/x都不可能为0，但是具备一个趋势，就是与0的差的绝对值无限趋近于0，这样我们才引出了极限的定义。极限的定义就是无限趋近，但是不能逾越。
lim (x*cos(1/x)) = lim x * lim cos(1/x) 这个分解是错误的。只有两个极限lim x 和lim cos(1/x)都存在的情况下，才能分解。请看好书。按照你的意思。lim 1＝limx*lim1/x，显然不成立。

Answer 2

lim (x*cos(1/x))这个极限应该是0而不是不存在!
f(x)=cos(1/x)虽然极限不存在但是它是一个有界函数,因为-1<= f(x)<=1,而g(x)=x当x→0时是无穷小.根据无穷小的性质:无穷小和有界函数的乘积是无穷小,所以这个极限应该是0而不是不存在.

Answer 3

书名？原话？说.

Answer 4

不是两个都为0吗