y=|x|到底是不是初等函数

Question

首先，y=|x|可以写成两个基本初等函数的复合函数：y=根号u，u=x平方。根据初等函数的定义，若干个基本初等函数的有限次四则运算或复合，都是初等函数，得到y=|x|是初等函数；
其次，y=|x|是一个分段函数，在x=0处连续，但不可导。根据初等函数的性质，所有初等函数在其定义域内都连续，都可导，可以断定y=|x|不是初等函数。
以上两点互相矛盾，但又找不出错误原因，请大家帮忙解答。

Answer 1

初等函数是由幂函数，指数函数，对数函数，初等函数，三角函数，反三角函数，与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且能用一个解析式表示的函数。 y=|x|可以写成y=（x^2）^(1/2)。完全满足上述条件。

Answer 2

”所有初等函数在其定义域内都连续，都可导“，这句话本身就是错的。
y=x^(1/3)(即x的立方根)是基本初等函数,但在x=0处不可导!
所以说|x|是初等函数，与它在x=0不可导，并没有矛盾。

Answer 3

是初等函数的
“初等函数的性质，所有初等函数在其定义域内都连续”这句话是错误的，在《数学分析》华东师范大学第二版 107页中 有 “定理4.14 ：一切基本初等函数都是在定义域上的连续函数。” “定理4.15 任何初等函数的都是在它有定义的区间上的连续函数”，注意是基本初等函数才是在定义域上的连续函数，初等函数仅限于定义区间，

Answer 4

初等函数是最常用的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。
初等函数在其定义区间内连续
① 常数函数。对定义域中的一切x对应的函 数值都取某个固定常数 的函数。
②幂函数。形如y＝x^a的函数，式中a为不等于零的常数 。
③指数函数。形如y＝a^x的函数，式中a为不等于1的正常数。
④对数函数。指 数函数的反函数，记作y＝loga a x，式中a为不等于1的正常数。指数函数与对数函数之间成 立关系式，loga ax＝x。
⑤ 三角函数 。即正弦函数y＝sinx ，余弦函数y＝cosx ，正切函数y＝tanx，余切函数y＝cotx ，正割函数y＝secx，余割 函数y＝cscx（见 三角学）。
⑥反三 角函数。三角函数 的反函数 ——反正弦函数y ＝ arc sinx ，反 余 弦函数 y＝arc cosx （－1≤x≤1，0≤y≤π） ，反 正 切 函数 y=arc tanx ， 反余切函数 y ＝ arc cotx（－∞ ＜x＜＋∞ ，θ＜y＜π ） 等 。 以上这些函数常统称为基本初等函数。
一个初等函数，除了可以用初等解析式表示以外，往往 还有其他表示形式，例如 ，三角函数 y＝sinx 可以用无穷级数表为 初等函数可以按照解析表达式分类为： 初等函数是最先被研究的一类函数，它与人类的生产和生活密切相关，并且应用广泛。为了方便，人们编制了各种函数表，如平方表、开方表、对数表、三角函数表等。
这样看y=|x| 不是初等函数。

Answer 5

初等的.