已知二次函数y=ax2+bx+c(a不等于0)的图像的顶点在第二象限内，且经过点(1,0)（0,1).试判断a的取值范围.

Question

说明理由

Answer 1

已知二次函数y=ax²+bx+c(a不等于0)的图像的顶点在第二象限内，且经过点(1,0)（0,1).试判断a的取值范围.
解：∵图象过(1，0)，∴a+b+c=0............(1)
有∵图像过(0，1)，∴c=1.......................(2)
将(2)代入(1)式得a+b=-1...................... ...(3)
又∵顶点(-b/2a，（4ac-b²)/4a)在第二象限，∴有：
-b/2a<0.........(4)；(4ac-b²)/4a>0............(5)
由(3)得b=-1-a，代入(4)式得(1+a)/2a<0，故-1<a<0...........(6)
再将c=1和b=-1-a代入(5)式得[4a-(-1-a)²]/4a=(-a²+2a-1)/4a=-(a²-2a+1)/4a>0
即有(a²-2a+1)/4a=(a-1)²/4a<0，故得a<0...........(7)
(6)∩(7)={a︱-1<a<0}，这就是a的取值范围。

Answer 2

过点（0，1），则有：f(0)=c=1
过点（1，0），则有：f(1)=a+b+c=0， 即：a+b=-1
顶点在第二象限内, 因顶点为：(-b/(2a), c-b^2/(4a))，即：
-b/(2a)<0, 这说明a,b同号，由a+b=-1, 说明a,b都为负数,故-1<a<0
c-b^2/(4a)>0,这显然成立，因c=1, a<0.
综合得：-1<a<0

Answer 3

过点（0，1），则有：f(0)=c=1
过点（1，0），则有：f(1)=a+b+c=0， 即：a+b=-1
顶点在第二象限内, 因顶点为：(-b/(2a), c-b^2/(4a))，即：
-b/(2a)<0, 这说明a,b同号，由a+b=-1, 说明a,b都为负数,故-1<a<0
c-b^2/(4a)>0,这显然成立，因c=1, a<0.
综合得：-1<a<0