数学解答题，在线求解答（一定要有过程和答案）

Question

已知函数f（x）＝a的x次方＋（x－2）/（x＋1）（a＞1）
1，证明函数f（x）在（－1，正无穷大）上为增函数。
2，用反证法证明方程f（x）＝0没有负根

Answer 1

解：
(1) f(x) = a^x +(x-2)/(x+1)，函数定义域为：(-∞, -1)U (-1, +∞)
f’(x) = lna *a^x + 3/(x+1)²
∵ a >1
∴ 在f(x) 定义域上，f’(x) >0
由定义域可知x=-1为间断点
因此函数在 (-∞, -1)上及 (-1, +∞) 分别单调递增；
(2) 假设 f(x) = a^x +(x-2)/(x+1) = 0有负根
若负根位于(-1, 0) 区间，则：
a^x <1, (x-2)/(x+1) < -2 ==> f(x)<0 与 f(x) = 0矛盾；
若负根位于(-∞, -1)，则：
a^x >0, (x-2)/(x+1) > 0 ==> f(x)>0 与 f(x) =0 矛盾；
由以上讨论可知，f(x) = 0 没有负根；

Answer 2

解：
(1) f(x) = a^x +(x-2)/(x+1)，函数定义域为：(-∞, -1)U (-1, +∞)
f’(x) = lna *a^x + 3/(x+1)²
∵ a >1
∴ 在f(x) 定义域上，f’(x) >0
由定义域可知x=-1为间断点
因此函数在 (-∞, -1)上及 (-1, +∞) 分别单调递增；
(2) 假设 f(x) = a^x +(x-2)/(x+1) = 0有负根
分两种情况讨论：
若负根位于(-1, 0) 区间，则：
a^x <1, (x-2)/(x+1) < -2
那么 f(x)<0
这与 f(x) = 0矛盾；
若负根位于(-∞, -1)，则：
a^x >0, (x-2)/(x+1) > 0
那么 f(x)>0
这与 f(x) =0 矛盾；
综上所述，f(x) = 0 没有负根；