求函数y=x2+x+1/x+1的值域

Question

如图

Answer 1

y=(x²+x+1)/(x+1)
设 x+1=t≠0，x=t-1
y=[(t-1)²+t]/t=(t²-t+1)/t
=t+1/t-1
t>0时，t+1/t≥2√(t*1/t)=2
(t=1/t,t=1时取等）
y=t+1/t-1≥1
t<0时，（-t)+(-1/t)≥2
(t=1/t,t=-1时取等）
t+1/t≤-2
y=t+1/t-1≤-3
∴函数y=(x2+x+1)/(x+1)的值域
是(-∞,-3]∪[1.+∞)

（本题还可以用判别式法）

Answer 2

y=(x^2+x+1)/(x+1)
=[(x+1)^2-(x+1)+1]/(x+1)
=(x+1)-1+[1/(x+1)]
因为 |(x+1)+1/(x+1)|≥2
所以 (x+1)+1/(x+1)≥2或(x+1)+1/(x+1)≤-2
得 y≥1 或 y≤-3
值域为 (-无穷，-3][1，+无穷)

Answer 3

y=[(x+1)^2-(x+1)+1]/(x+1)
=(x+1)+1/(x+1)-1
x>-1 x+1>0
y=(x+1)+1/(x+1)-1>=2-1=1
x<-1 x+1<0
y=(x+1)+1/(x+1)-1<=-2-1=-3
值域 y>=1或y<=-3

Answer 4

解:y=1-(2x/x^2+x+1)
1.x=0时y=1
2.x≠0时y=1-2/[x+(1/x)+1]
当x>0时x+(1/x)≥2,x+(1/x)+1≥3,y∈[1/3,1)
当x<0时x+(1/x)≤-2,x+(1/x)+1≤-1,y∈(1,3]
综上所述,y=x2-x+1/x2+x+1的值域为[1/3,3]

Answer 5

已知函数的定义域，则可以求反函数的定义域就可以了。