高一数学题 函数

Question

对定义域分别是Df、Dg的函数y=f（x）、y=g（x）规定：
h（x）=f（x）·g（x），x∈Df且x∈Dg，
=f（x），x∈Df且x∉Dg，
=g（x），x∉Df且x∈Dg，
（1）若函数f（x）=1/x+1，g（x）=x²，写出h（x）的解析式
（2）求（1）中函9数h（x）的值域
（3）若g（x）=f（x+a），a是常数，且a∈[0,p]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x）及一个a的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明。

Answer 1

（1）若函数f（x）=1/x+1，g（x）=x²ï¼Œå†™å‡ºh（x）的解析式
f(x)的定义域为x≠－1，g(x)的定义域为R
因此，
h(x)=x^2/(x+1) (x≠－1)
x^2 (x=-1)
（2）求（1）中函数h（x）的值域
很明显h(x)的值域为R
（3）若g（x）=f（x+a），a是常数，且a∈[0,p]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x）及一个a的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明。
你的a∈[0,π]？
g（x）=f（x+a）
h(x)=f（x）·g（x）=f(x)*f(x+a)=cos4x
不妨设f(x)=√2cos2x，则
2cos2xcos(2x+2a)=cos4x=cos(4x+2a)+cos2a
令cos2a=0,2a=π
但此时，不满足f(x)*f(x+a)=cos4x
再设
f(x)=√2sin2x，则
2sin2xsin(2x+2a)=cos4x=cos2a-cos(4x+2a)
令cos2a=0,2a=π成立
所以设计的f(x)=√2sin2x

Answer 2

3.f(x)=cos2x+sin2x,a=3π/2