计算曲面积分∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy其中积分面为z=1/2(x^2+y^2）介于z=0，和z=2之间部分下侧

Question

不要用两类曲面积分间关系转化为第一类曲面积分做，就直接按第二类曲面积分算下，谢谢

Answer 1

本题最简单的方法是高斯公式
补Σ1：z=2，x²+y²≤4，上侧
则两曲面加起来为封闭曲面，由Gauss公式
∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy=∫∫∫ (1-1)dxdydz=0
因此原积分与Σ1上的积分互为相反数
原式=-∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy 积分曲面为Σ1：z=2，x²+y²≤4上侧
=-∫∫ -2 dxdy
=2∫∫ 1 dxdy
被积函数为1，积分结果为区域面积：π*2²
=8π

追问

麻烦就用第二类曲面积分算下嘛，我老是算不出来

追答

其实做数学题应该是用合适的方法做适合的题，第二类曲面积分的主要方法是高斯公式，原始算法只是个次要方法，一般来说，平面的题会用它算就够了。

先算：-∫∫ z dxdy，将曲面投影到xoy面，下侧取负，投影区域为：x²+y²≤4
-∫∫ z dxdy
=(1/2)∫∫ (x²+y²) dxdy
=(1/2)∫∫ r²r drdθ
=(1/2)∫[0→2π]dθ∫[0→2] r³ dr
=(1/2)(2π)(1/4)r⁴ |[0→2]
=4π

再算∫∫(z²+x)dydz，将曲面以yoz面为分界线，分为两部分，前部分叫Σ1，后一部分叫Σ2
先计算Σ1上积分，前侧取正，曲面方程为：x=√(2z-y²)，积分区域由z=(1/2)y²与z=2所围
∫∫(z²+x)dydz
=∫∫(z²+√(2z-y²))dydz
先积z
=∫[-2→2]dy∫[(1/2)y²→2](z²+√(2z-y²))dz
=∫[-2→2] [(1/3)z³+(1/2)(2/3)(2z-y²)^(3/2) |[(1/2)y²→2] dy
=∫[-2→2] [-(1/24)y⁶+8/3+(1/3)(4-y²)^(3/2)] dy
=64/7+2π

先计算Σ2上积分，后侧取负，曲面方程为：x=-√(2z-y²)，积分区域由z=(1/2)y²与z=2所围
∫∫(z²+x)dydz
=-∫∫(z²-√(2z-y²))dydz
=-∫[-2→2]dy∫[(1/2)y²→2](z²-√(2z-y²))dz
=-64/7+2π

综上最后结果为：4π+(64/7+2π)+(-64/7+2π)=8π

真的没必要会这种方法，太麻烦了。