u1=√a ,u2=√(a+√a),un=√(a+un-1),证明当n->∞,limun存在
设a>0,u1=√a ,u2=√(a+√a)......un=√(a+un-1),......
证明当n->∞,limun存在.
初学高数,有答案,但是看不太明白,请高手会做的,给一个详细点的过程和解释,谢谢!
感谢lyjhuman和小马快跑888的解答,写得都很清晰,对我帮助很大,不过只能选一个,还请谅解
这个我可以告诉你。
只要证明单调有界就可以了。
先证有界：
（其实你自己可以先把这个极限求出来。对于un=√(a+un-1)
两边求极限，设limun=x，则x=√(a+x)
所以x=(1+sqrt(1+4a))/2)）
下面就用数学归纳法证明un<(1+sqrt(1+4a))/2
u1=√a<(1+sqrt(1+4a))/2
假设n=k时成立，即uk<(1+sqrt(1+4a))/2
则uk+1=√(a+uk)<√(a+(1+sqrt(1+4a))/2)<=1+sqrt(1+4a))/2
所以n=k+1也成立
所以un<(1+sqrt(1+4a))/2
下证单调递增：
因为un<(1+sqrt(1+4a))/2
所以un+1=√(a+un)>un（即单调递增）
（原因：因为√(a+x)>x的解为(1-sqrt(1+4a))/2<x
<(1+sqrt(1+4a))/2，现在0<un<(1+sqrt(1+4a))/2=此范围内，所以
un+1=√(a+un)>un）
现在已经证出un单调递增有界，所以有极限。所以
对于un=√(a+un-1)
两边求极限，设limun=x，则x=√(a+x)
所以x=(1+sqrt(1+4a))/2)）即极限为(1+sqrt(1+4a))/2)）
sqrt（x）表示x的开方
希望我解答的你能喜欢。祝学习进步！！！
lyjhuman的方法是对的。。
这道题如果a如果能给个特定的数值就好办了。可以利用两边求极限的方法把其极限求出来。即：
lim Un+1 = lim=√(a+Un) 设极限是A
A =√(a+A) 得到[(1+sqrt(1+4a)]/2 a=?代入，最后用数学归纳法证明
Un<A 。因此有上界，再证单调增加。（这个好办，自己去证）
如果a没有给定数值,他的方法不是很好想，可以分段证明：
我采用的是两个段 (a>=2)和(a<2)
证明:
当a<2,有
u1=√a < 2
u2=√(a+u1) < √a+2 < 2
u3=√(a+u2) < √a+2 < 2
由数学归纳法得
un=√(a+un-1) < √a+2 < 2
所以当a<2时,un有上界2,再证其单调增加(这个好证,自己证)
当a>2时,有
u1=√a < a
u2=√(a+u1) < √a+a =√(2a)< a (因为a>2,所以√(2a) < a
u3=√(a+u2) < √a+a < a
由数学归纳法得
un=√(a+un-1) < √a+a < a
所以当a>2时,un有上界a,同理再证其单调增加
希望对你有所帮助..这道题在我上学的时候也是难点.
lyjhuman的方法是对的。。
这道题如果a如果能给个特定的数值就好办了。可以利用两边求极限的方法把其极限求出来。即：
lim
Un+1
=
lim=√(a+Un)
设极限是A
A
=√(a+A)
得到[(1+sqrt(1+4a)]/2
a=?代入，最后用数学归纳法证明
Un
=2)和(a<2)
证明:
当a<2,有
u1=√a
<
2
u2=√(a+u1)
<
√a+2
<
2
u3=√(a+u2)
<
√a+2
<
2
由数学归纳法得
un=√(a+un-1)
<
√a+2
<
2
所以当a<2时,un有上界2,再证其单调增加(这个好证,自己证)
当a>2时,有
u1=√a
<
a
u2=√(a+u1)
<
√a+a
=√(2a)<
a
(因为a>2,所以√(2a)
<
a
u3=√(a+u2)
<
√a+a
<
a
由数学归纳法得
un=√(a+un-1)
<
√a+a
<
a
所以当a>2时,un有上界a,同理再证其单调增加
希望对你有所帮助..这道题在我上学的时候也是难点.
u1=√a ,u2=√(a+√a),un=√(a+un-1),证明当n->∞,limun存在
两边求极限，设limun=x，则x=√(a+x)所以x=(1+sqrt(1+4a))\/2)）下面就用数学归纳法证明un<(1+sqrt(1+4a))\/2 u1=√a<(1+sqrt(1+4a))\/2 假设n=k时成立，即uk<(1+sqrt(1+4a))\/2 则uk+1=√(a+uk)<√(a+(1+sqrt(1+4a))\/2)<=1+sqrt(1+4a))\/2 所以n=k+1也成...
谁知道一首歌
sum gyeo wass deon na ye su jub beun ma eum mo du ne ge jul ge ye I ye nvA:` mz 大家的给予掩盖了的我那害臊的心 yeh~ 2~v JA7 ]~Y ,QL9` 차가운 나를 움직이는 너의 미소 9X*v&}<n cha ga eun na leul eum jik gi neun neo ye mo so ...
高数级数证明题 lim(n→∞)nun(后面的n是下标)=a>0。证明级数∑(n从1...
我的 高数级数证明题 lim(n→∞)nun(后面的n是下标)=a>0。证明级数∑(n从1到n)un发散 高数级数证明题lim(n→∞)nun(后面的n是下标)=a>0。证明级数∑(n从1到n)un发散。...高数级数证明题lim(n→∞)nun(后面的n是下标)=a>0。证明级数∑(n从1到n)un发散。 展开 我来答 1个回答 #热议# ...
设数列Un收敛于a,则∑(Un-Un+1)=___ 求过程,有图
2016-03-27 级数∑un=a收敛,则级数∑(un+un+1)的和是 2013-04-18 设数列{un}收敛于a,则级数(un-u(n-1))=?) 5 2011-04-11 设数列{Un}收敛于a,则级数(Un-U(n-1))=?) 2015-07-21 设级数∑(un)^2收敛,证明∑(un+un+1)也收敛 7 2017-10-31 设u1=2,un+1=un(un^2+3)\/...
怎么判断函数和数列是收敛或发散的
判断函数和数列是否收敛或者发散：1、设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛。2、求数列的极限，如果数列项数n趋于无穷时，数列的极限能一直趋近于实数a，那么这个数...
高数证明题
证明：(1)设所有正项所组成的级数设为：∑Vn，发散到+∞；（2）设所有正项所组成的级数设为：∑Wn，发散到-∞.不妨设a>0，先在∑Vn中自前往后一项一项的相加起来，加到某一项刚好超过a，例如：V1+V2+……+Vn1>a，而V1+V2+……+V（n1-1）<=a.记下V1+V2+……+Vn1为新级数的前...
一元n次方程为什么有n个复数根?
U2=A(N-2)...UN=(-1)^N *A 所以 U1...UN为实数 所以H(X)为实系数多项式 所以由归纳假设知 H(X)=0有复根 所以存在某个 I,J有 XI+XJ+CXIXJ为复数 (注意到 I J 是与C有关的 所以记为I(C) J(C))因为 (I,J)的数对只有有限多个 但C属于R有无穷多 所以 存在 C1不=C2有 (...
若当n趋向于无穷时,limun=a,证明:当n趋向于无穷时lim|un|=|a|
证明：若 limun=a , 则 lim(n->∞) |un|=|a| .证明：① 对任意 ε>0 ∵ lim(n->∞) un = a , 则对此ε>0 ,存在 N∈Z+ ，当 n>N 时,恒有：|un-a|<ε ,有：||un|-|a||< |un-a| < ε 【三角不等式】 ，故：② 存在 N∈Z+，③ 当 n>N 时，④ ||un|...
高等数学中的“收敛”是什么意思?
这样,在收敛域上 ,函数项级数的和是x的函数S(x),通常称s(x)为函数项级数的和函数,这函数的定义域就是级数的收敛域,并写成S(x)=u1(x)+u2(x)+u3(x)+...+un(x)+...把函数项级数 ⑴ 的前n项部分和 记作Sn(x),则在收敛域上有lim n→∞Sn(x)=S(x) 记rn(x)...
不收敛的函数一定是发散的函数吗?为什么?
是的。有界函数不一定收敛，无界函数一定发散。
