如图，抛物线y=x2+4x与x轴分别相交于点B、O，它的顶点为A，连接AB，把AB所在的直线沿y轴向上平移，使它经

Question

如图，抛物线y=x2+4x与x轴分别相交于点B、O，它的顶点为A，连接AB，把AB所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上一个动点．（1）求直线l的函数关系式；（2）试写出符合下列条件的点P的坐标：①当以点A、B、O、P为顶点的四边形是菱形时，点P坐标为______．②当以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形时，点P坐标为______．

Answer 1

解：
（1）因为抛物线方程为：y＝x^2＋4x
配方得：y＝(x＋2)^2－4,
所以抛物线的顶点坐标为（－2，－4）。 即a的坐标为（－2，－4）
（2）令y＝0，解得x＝0或－4，
所以b点坐标为（－4，0），
因为a点到x轴距离是4
所以根据勾股定理得：ab＝oa＝2√5
情形一：若以a、b、o、p为顶点的四边形是菱形
因为ob＝4＜2√5，所以ob＜ab＝oa
所以ab、ob或oa、ob不能同时作为菱形的边
所以只能是oa、ab作为菱形的两边，ob作为菱形的对角线
所以p点是a点关于x轴的对称点
所以p点坐标为p1（－2，4）
（因为此时op1//ab，所以p1一定在直线l上）
情形二：若以a、b、o、p为顶点的四边形是等腰梯形
因为ob＝4＜2√5，所以ob＜ab＝oa
所以只能是ob作为梯形的一腰
容易求出直线l的解析式是y＝－2x
因为p在l上，所以可设其坐标是p（x，－2x）
因为pa＝ob＝4，a点坐标是（－2，－4）
所以根据勾股定理得：
(x＋2）^2＋(－2x＋4)^2＝16
解得：x＝2/5或x＝2
因为当x＝2时，四边形abop是平行四边形，不合题意
所以x＝2/5
此时p的坐标是p2（2/5，－4/5）
情形三：若以a、b、o、p为顶点的四边形是直角梯形
显然只能是ab作为梯形的下底
过a、b分别作l的垂线，垂足分别为p4、p3（两点坐标均可表示为（x，－2x））
设o到ab的距离是h，根据三角形面积公式可得下列等式：ab*h＝ob*4
所以h＝8√5/5，即ap4＝ap3＝8√5/5
根据勾股定理得：oa^2＝ap4^2＋op3^2
将oa＝2√5，ap4＝8√5/5代入得：op4＝6√5/5
所以得5x^2＝36/5，x＝6/5（－6/5舍去）
所以此时p点坐标为p4（6/5，－12/5）
同理可求出p3（4/5，－8/5）
即以a、b、o、p为顶点的四边形是直角梯形时p点坐标是p3（4/5，－8/5）或p4（6/5，－12/5）
（3）
因为直线l的解析式是：y＝－2x，p的坐标伟（x,－2x),
此时以a、b、o、p为顶点的四边形可以看着是一个梯形，
上底为op＝√5|x|，下底为ab＝2√5，高为h＝8√5/5，
所以s＝(√5|x|＋2√5)*(8√5/5)/2
＝4|x|＋8
所以有：4＋6√2＜4|x|＋8＜6＋8√2
所以：3√2/2－1＜|x|＜2√2－1/2
所以当x＞0时，x的取值范围是3√2/2－1＜x＜2√2－1/2
当x＜0时，3√2/2－1＜－x＜2√2－1/2
所以：x＜1－3√2/2或x＞1/2－2√2
所以当x＜0时，x的取值范围是：1/2－2√2＜x＜1－3√2/2

Answer 2

解：
（1）因为抛物线方程为：y＝X^2＋4X
配方得：y＝(X＋2)^2－4,
所以抛物线的顶点坐标为（－2，－4）。
即A的坐标为（－2，－4）
（2）令y＝0，解得X＝0或－4，
所以B点坐标为（－4，0），
因为A点到X轴距离是4
所以根据勾股定理得：AB＝OA＝2√5
情形一：若以A、B、O、P为顶点的四边形是菱形
因为OB＝4＜2√5，所以OB＜AB＝OA
所以AB、OB或OA、OB不能同时作为菱形的边
所以只能是OA、AB作为菱形的两边，OB作为菱形的对角线
所以P点是A点关于X轴的对称点
所以P点坐标为P1（－2，4）
（因为此时OP1//AB，所以P1一定在直线L上）
情形二：若以A、B、O、P为顶点的四边形是等腰梯形
因为OB＝4＜2√5，所以OB＜AB＝OA
所以只能是OB作为梯形的一腰
容易求出直线L的解析式是Y＝－2X
因为P在L上，所以可设其坐标是P（X，－2X）
因为PA＝OB＝4，A点坐标是（－2，－4）
所以根据勾股定理得：
(X＋2）^2＋(－2X＋4)^2＝16
解得：X＝2/5或X＝2
因为当X＝2时，四边形ABOP是平行四边形，不合题意
所以X＝2/5
此时P的坐标是P2（2/5，－4/5）
情形三：若以A、B、O、P为顶点的四边形是直角梯形
显然只能是AB作为梯形的下底
过A、B分别作L的垂线，垂足分别为P4、P3（两点坐标均可表示为（X，－2X））
设O到AB的距离是H，根据三角形面积公式可得下列等式：AB*H＝OB*4
所以H＝8√5/5，即AP4＝AP3＝8√5/5
根据勾股定理得：OA^2＝AP4^2＋OP3^2
将OA＝2√5，AP4＝8√5/5代入得：OP4＝6√5/5
所以得5X^2＝36/5，X＝6/5（－6/5舍去）
所以此时P点坐标为P4（6/5，－12/5）
同理可求出P3（4/5，－8/5）
即以A、B、O、P为顶点的四边形是直角梯形时P点坐标是P3（4/5，－8/5）或P4（6/5，－12/5）
（3）
因为直线L的解析式是：y＝－2X，P的坐标伟（X,－2X),
此时以A、B、O、P为顶点的四边形可以看着是一个梯形，
上底为OP＝√5|X|，下底为AB＝2√5，高为H＝8√5/5，
所以S＝(√5|X|＋2√5)*(8√5/5)/2
＝4|X|＋8
所以有：4＋6√2＜4|X|＋8＜6＋8√2
所以：3√2/2－1＜|X|＜2√2－1/2
所以当X＞0时，X的取值范围是3√2/2－1＜X＜2√2－1/2
当X＜0时，3√2/2－1＜－X＜2√2－1/2
所以：X＜1－3√2/2或X＞1/2－2√2
所以当X＜0时，X的取值范围是：1/2－2√2＜X＜1－3√2/2

Answer 3

（1）∵y=x²+4x=（x+2）²-4，
∴A（-2，-4），
∵y=x²+4x=x（x+4），
∴B（-4，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，则

?2k+b＝?4 ?4k+b＝0

，
解得

k＝?2 b＝?8

，
∴直线AB的解析式为y=-2x-8，
∴直线l的解析式为y=-2x．

（2）①当四边形ABOP是菱形时，P点横坐标与A点横坐标相同，纵坐标与A点坐标互为相反数，四边形ABPO为菱形时，P（-2，4）；
②当四边形ABPO为平行四边形时，P点横坐标=0+[（-4）-（-2）]=-2，P点纵坐标=-2×（-2）=4，P（-2，4）；
当四边形ABOP为平行四边形时，P点横坐标=0+[（-2）-（-4）]=2，P点纵坐标=-2×2=-4，P（2，-4）．
综上所述，当以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形时，点P坐标为 （-2，4）或（2，-4）．
故答案为：（-2，4）；（-2，4）或（2，-4）．