f(n)=(n-1)[f(n-1)+f(n-2)]已知f1，f2这个数列的通项公式怎么求的过程！

Question

160分相赠！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！这个的原型是全错位排列的问题 这个数列怎么求的！！！！！！！紧急啊！！！！！！！！！！！！！！！！挑战你的IQ！！！！！！！！！！！
f(n)-nf(n-1)=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)] 这个是关键！其实就是用递归数列解全错位排列遇见的中间过程 回答以后还有额外奖励分数！！！！！！！！！

Answer 1

f(n)-nf(n-1)=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)]

f(n)-nf(n-1)
=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)]
=[f(n-2)-(n-2)f(n-3)]
=。。。
=[f(2)-2f(1)]*(-1)^(n-2)
=[f(2)-2f(1)]*(-1)^n

f(n)=nf(n-1)+d*(-1)^n
其中 d=f(2)-2f(1)

f(n)
=nf(n-1)+d*(-1)^n
=n[(n-1)f(n-2)+d*(-1)^(n-1)]+d*(-1)^n
=n(n-1)f(n-2)+d*(-1)^n-n*d*(-1)^n
=。。。
=n!f(1)+d*(-1)^n-[n-n(n-1)+n(n-1)(n-2)-。。。n(n-1)...3]*d*(-1)^n
=n!f(1) + n![1/n! - 1/(n-1)! + 1/(n-2)! - 。。。1/2!]*d*(-1)^n
=n!f(1) + n![1/n! - 1/(n-1)! + 1/(n-2)! - 。。。1/2!+1-1]*d*(-1)^n

故 f(n) = n![f(1) + g(n)*(f(2)-2f(1))*(-1)^n]
其中 g(n) = ∑[(1/k!)(-1)^k]*(-1)^n (k从0到n)

g(n) 没有求和公式，n->无限大 时 ∑[(1/k!)(-1)^k] -> 1/e

Answer 2

f(n)-nf(n-1)=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)]

f(n)-nf(n-1)
=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)]
=[f(n-2)-(n-2)f(n-3)]
=。。。
=[f(2)-2f(1)]*(-1)^(n-2)
=[f(2)-2f(1)]*(-1)^n

f(n)=nf(n-1)+d*(-1)^n
其中 d=f(2)-2f(1)

f(n)
=nf(n-1)+d*(-1)^n
=n[(n-1)f(n-2)+d*(-1)^(n-1)]+d*(-1)^n
=n(n-1)f(n-2)+d*(-1)^n-n*d*(-1)^n
=。。。
=n!f(1)+d*(-1)^n-[n-n(n-1)+n(n-1)(n-2)-。。。n(n-1)...3]*d*(-1)^n
=n!f(1) + n![1/n! - 1/(n-1)! + 1/(n-2)! - 。。。1/2!]*d*(-1)^n
=n!f(1) + n![1/n! - 1/(n-1)! + 1/(n-2)! - 。。。1/2!+1-1]*d*(-1)^n

故 f(n) = n![f(1) + g(n)*(f(2)-2f(1))*(-1)^n]
其中 g(n) = ∑[(1/k!)(-1)^k]*(-1)^n (k从0到n)

g(n) 没有求和公式，n->无限大 时 ∑[(1/k!)(-1)^k] -> 1/e
回答者：scm_abc - 进士出身 九级 3-10 05:03
hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh
____嘿，哥们，我知道你是怎么得到这个公式的：
____有从1到n的n个自然数，把它们重新排列，每个数都不在原来位置的
结果有多少种？
____这是一道排列组合题，我也只是找到了f(n)=(n-1)[f(n-1)+f(n-2)]，我的结果是：
f(1)=0
f(2)=1
f(n)=(n-1)[f(n-1)+f(n-2)],(n∈N，且n≥3)
____是不是啊？肯定没错！
____我也找过类似的通项，但没有成功。你知道那个“菲波拉契”数列（0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，……）的通项公式吗?它的递推公式是f(n)=f(n-1)+f(n-2)，但是它的通项公式真的是相当复杂，结果一定是整数，但公式中竟然是什么根号几的和的n次方，计算时，要用到二项式定理；也就是说这个公式只能当作艺术品来欣赏，根本没有实用价值！还是递推的算了！
____对了，哥们，你有空找找它的计算公式：
1^m+2^m+3^m+4^m+……+n^m,(m,n∈N,且n≥1)

Answer 3

这里有一种思路f(n)-nf(n-1)=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)] 等式两边同时除以n! 另g(n)=f(n)/n!-f(n-1)/(n-1)! 然后再构造一个辅助数列用g(n)表示S(n) 最后迭代出来```我忘记后面怎么做了 谢谢

Answer 4

f(n)-nf(n-1)=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)]

f(n)-nf(n-1)
=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)]
=[f(n-2)-(n-2)f(n-3)]
=。。。
=[f(2)-2f(1)]*(-1)^(n-2)
=[f(2)-2f(1)]*(-1)^n

f(n)=nf(n-1)+d*(-1)^n
其中 d=f(2)-2f(1)

f(n)
=nf(n-1)+d*(-1)^n
=n[(n-1)f(n-2)+d*(-1)^(n-1)]+d*(-1)^n
=n(n-1)f(n-2)+d*(-1)^n-n*d*(-1)^n
=。。。
=n!f(1)+d*(-1)^n-[n-n(n-1)+n(n-1)(n-2)-。。。n(n-1)...3]*d*(-1)^n
=n!f(1) + n![1/n! - 1/(n-1)! + 1/(n-2)! - 。。。1/2!]*d*(-1)^n
=n!f(1) + n![1/n! - 1/(n-1)! + 1/(n-2)! - 。。。1/2!+1-1]*d*(-1)^n

故 f(n) = n![f(1) + g(n)*(f(2)-2f(1))*(-1)^n]
其中 g(n) = ∑[(1/k!)(-1)^k]*(-1)^n (k从0到n)

g(n) 没有求和公式，n->无限大 时 ∑[(1/k!)(-1)^k] -> 1/e
回答者：scm_abc - 进士出身 九级 3-10 05:03
hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

Answer 5

f(n)-nf(n-1)=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)]

f(n)-nf(n-1)
=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)]
=[f(n-2)-(n-2)f(n-3)]
=。。。
=[f(2)-2f(1)]*(-1)^(n-2)
=[f(2)-2f(1)]*(-1)^n

f(n)=nf(n-1)+d*(-1)^n
其中 d=f(2)-2f(1)

f(n)
=nf(n-1)+d*(-1)^n
=n[(n-1)f(n-2)+d*(-1)^(n-1)]+d*(-1)^n
=n(n-1)f(n-2)+d*(-1)^n-n*d*(-1)^n
=。。。
=n!f(1)+d*(-1)^n-[n-n(n-1)+n(n-1)(n-2)-。。。n(n-1)...3]*d*(-1)^n
=n!f(1) + n![1/n! - 1/(n-1)! + 1/(n-2)! - 。。。1/2!]*d*(-1)^n
=n!f(1) + n![1/n! - 1/(n-1)! + 1/(n-2)! - 。。。1/2!+1-1]*d*(-1)^n

故 f(n) = n![f(1) + g(n)*(f(2)-2f(1))*(-1)^n]
其中 g(n) = ∑[(1/k!)(-1)^k]*(-1)^n (k从0到n)

g(n) 没有求和公式，n->无限大 时 ∑[(1/k!)(-1)^k] -> 1/e