一个高中数学几何问题

Question

在梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=90度,AB=a,AD=3a,且∠ADC=arcsin√5/3,又PA⊥平面ABCD,

PA=a

(1)求二面角P-CD-A的大小 答案:arctg√5/3

(2)求点A到平面PBC的距离 答案:a√2/2
（我是关于解答有一个问题）
解 （1）在平面ABCD中，过A作AE⊥CD于E，连接PE
因为PA⊥平面ABCD
所以PE⊥CD
所以∠PEA为二面角P-CD-A的平面角
在Rt△AED中，AD=3a，∠ADE=arcsin√5/5
所以AE=AD*sin∠ADE=3a√5/5
在Rt△PAE中，tan∠PEA=PA/AE=√5/3
所以∠PEA=arctan√5/3
所以二面角P-CD-A的正切值大小为arctan√5/3

（2）在平面PAB中，过A作AH⊥PB于H，
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC
又AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，
AH属于面PAB，
所以BC⊥AH
又AH⊥PB，所以AH⊥平面PBC
所以AH即为点A到平面PBC的距离
在等腰Rt△PAB中，AH=AP*AB/PB=a√2/2
所以点A到平面PBC的距离为√2/2 *a

我就有一个问题 AD不是平行于BC的么 那A道PBC的距离不就是平行线AD和BC间的距离么 为什么还要做AH呢

Answer 1

两条平行线间的距离不一定是线到面的距离
AD//BC
AB⊥BC，AB垂直AD
但是AB和平面PBC不垂直，因为如果AB⊥平面PBC，则AB⊥PB
显然在△PAB中∠PAB=90°，所以∠PBA≠90°
所以AB和平面PBC不垂直，即AB不是A到平面PBC的距离，所以还要做AH

Answer 2

垂直于平面内的一条线不能证明它垂直于这个面
你想象一下
一个正方形ABCD中心O上的一点O'
做个直线垂直于AB 能有很多条，这么多条线组成一个平面
这个内只有OO'是垂直于正方形所在的那个面

Answer 3

1.点到平面的距离，在立体几何中，通常转化为该点到平面垂线的距离。
2.平面外任意的一条与平面不相交的直线，在平面内都可以找到无数条与其平行的直线。点到平面的距离，等价于经过该点且与该平面平行的直线到该平面的距离。经过该点且与该平面平行的直线在该平面内可以找到无数条与其平行的直线，而这无数组平行线中，距离最短的，也就是该点到平面的距离！
3上述题中，虽然AD//BC,但不能确定AD与BC的距离最短，所以必须作AH

Answer 4

垂直平面内一条直线不能说明垂直过这条直线的平面，
直线垂直面的判定定理是垂直平面内两条相交的直线