数学排列组合高手进 有5对夫妇站成一排，没有任何一对夫妇相邻的站法有多少种？ 求详细过程。

Question

有5对夫妇站成一排，没有任何一对夫妇相邻的站法有多少种？ 求详细过程。
急求！

Answer 1

看了一下上面两个人的回答，都有问题，高考都考完好几年了，有些问题也记不太清楚了，我觉得这个问题还是用容斥原理做的好点：10！-5x2x9！+(5*4/2!)x2^2x8!-(5*4*3/3!)x2^3x7!+(5*4*3*2/4!)x2^4-2^5x5!=329x32x5!=1263360

追问

那个没教过。。上面两个是有点问题，和答案不太一样 - -

追答

关于容斥原理的介绍 http://baike.baidu.com/view/573741.htm
只要求出有夫妇俩相邻的站法数，再用10!去减即可；所以问题的关键在于求出有夫妇俩相邻的站法数。
设五对夫妇分别为a，b，c，d，e。其中a夫妇站在一起的站法集合设为A,其他类推依次为BCDE
那么问题就是求ABCDE这五个集合的并集里面有多少种站法。
因为ABCDE，这五个集合是相互之间有交集的，所以要用容斥原理。(我知道高中普遍的分类方法都是把问题分成若干个没有交集的子集，再求和，但这里这样做分类十分不易，而且各个子集不好求)
一、A 包含的站法数：2x9！；a夫妇单独站2种站法，把a夫妇做整体与其他的八个人共9个元素做全排列 （B,C,D,E与A同，故一共5x2x9！）
二、A U B 包含站法数 ：2^2x8! （B U C，C U D……E U A 同），这一项有C5取2个元素，故一共(5*4/2!)x2^2x8！站法
三、下面三个集合的交，四个集合的交，5个集合的交类推。

最后关于容斥原理简单说明下，求几个集合的并，1，先把每个集合都求出来加在一起
2，上一步加的时候，有一部分是两个集合公用的，加重了，所以要减掉
3，第2步减的时候，有一部分是三个集合公用的，减多了，所以又要再加上
4，………………，依次类推直到到所有集合的交

追问

那是不是总的集合-两个公用的+三个公用的-4个公用的+5个公用的？
好像懂了啊，谢谢啊，书上写错了它是10！-+---，那个负号应该是+吧。。。和你用一个方法，我查了下card好像就这个意思。。

Answer 2

解：把5对夫妇先看成5个整体
任意选2个夫妇进行排列,排列的方法为：C(5,2)A(4,4)
4个人站在一排，其中的空当为5个，所以剩余的6人任意选5个进行排序
排列方法为A(6,5);
这样就排成1个9人的队列，其中有10个空当；
把最后一人插入队列中的插法为：C(8,1) ,(他老公或老婆边上的两个空当除外)。
所以总的排列方法为：C(5,2)A(4,4)A(6,5)C(8,1)=691200

Answer 3

插入法
一对夫妇站成一排有：A22
第二对夫妇不相邻有：2 A22
第三对夫妇不相邻有：A52
第四对夫妇不相邻有：A72
第五对夫妇不相邻有：A92
共有：A222 A22 A52 A72 A92=483840

Answer 4

插入法
一对夫妇站成一排有：A22
第二对夫妇不相邻有：2 A22
第三对夫妇不相邻有：A52
第四对夫妇不相邻有：A72
第五对夫妇不相邻有：A92
共有：A222 A22 A52 A72 A92=967680

Answer 5

去掉都相邻的时候
10个人全排10！，去掉把每对夫妇绑在一起都相邻的时候i，有5大元素全排为5！
再每对夫妇都可以交换位置2!×2!×2!×2!×2!
故答案为 10!-5!×2!×2!×2!×2!×2!