抽象函数单调性问题

Question

任意x,y属于R，都有f(x)+f(y)=f(x+y),当x>0时，f(x)<0,判断f(x)的单调性并证明。
证明不会呀，高手帮忙

Answer 1

抽象函数的单调性

Answer 2

抽象函数单调性判断的四种策略：

凑差策略。

紧扣单调函数定义，利用赋值，设法从题设中“凑出”“f(x1)-f(x2)”,然后判断符号。

添项策略。

瞄准题中的结构特点，采用加减添项或乘除添项，以达到确定“f(x1)-f(x2)”的符号的目的。

增量策略。

由单调性的定义出发。

放缩策略。

结合添项策略，利用放缩法，判断f(x1)与f(x2)的大小关系，从而得f(x)的单调性。

抽象函数问题是指没有明确给出具体函数表达式的问题。这类问题对发展学生思维能力，进行数学思想方法的渗透有较好的作用。

Answer 3

设在R上x1>x2
f(x1)-f(x2)=
f(x2+(x1-x2))-f(x2)=f(x2)+f(x1-x2)-f(x2)=f(x1-x2)
因为x1>x2
所以f(x1-x2)<0
所以f(x1)<f(x2)
所以为减函数

Answer 4

例题：已知函数f(x)对任意x,y∈R均满足：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(1)=2；当且仅当x<0时，f(x)<0，
求：当-3≤x≤3时，求f(x)的最大值与最小值。

解：在方程f(x+y)=f(x)+f(y)中取x=0,y=0，可得f(0)=0，
取y=-x，可得f(x)=-f(-x)，即函数f(x)是奇函数，
在f(x)的定义域R内任取x1，x2，使x1<x2，即x1-x2<0
则f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0，
故f(x)在定义域R内是单调递增函数，
因为f(1)=2，所以f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6，f(-3)=-f(3)=-6，
因为f(x)在定义域R内是单调递增函数，故
当-3≤x≤3，求f(x)的最大值为6，最小值-6

思路总结：
对于类似的题目，要想办法应用单调性的定义证明，
并且要从题目所给的条件深刻挖掘出有利的信息，
可能时可以使用导数方法证明单调性。 参考资料：思路总结为原创，例题与解答出自http://zhidao.baidu.com/question/260595588.html