求抽象函数单调性有哪几种方法

Question

求抽象函数单调性有哪几种方法
已知f(x)是R上的增函数,若令F(x)=f(1-x)-f(1+x),则F(x)是R上的???

像这样的怎么解

Answer 1

一、方法：
1、特殊值法是处理抽象函数选择题的有力方法。根据抽象函数具有的性质，选择一个熟悉的函数作为特殊值代入验证，可以解决大部分选择题。
例1 定义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f (y)(x，y∈R)，当x<0时， f (x)>0，则函数f (x)在[a,b]上 ( )
A　有最小值f (a)　 B　有最大值f[(a+b)/2]　 C　有最小值f (b)　 D　有最大值f (b)
分析：许多抽象函数是由特殊函数抽象背景而得到的，如正比例函数f (x)= kx(k≠0)，可抽象为f (x + y) = f (x) +f (y)。
此题作为选择题可采用特殊值函数f (x)= kx(k≠0)
∵当x <0时f (x) > 0即kx > 0。.∴k < 0，可得f (x)在[a,b]上单调递减，从而在[a,b]上有最小值f(b)。
2、赋值法，根据所要证明的或求解的问题使自变量取某些特殊值，从而解决问题。
例2 除了用刚才的方法外,也可采用赋值法
解:令y = -x，则由f (x + y) = f (x) + f (y) (x，y∈R)得f (0) = f (x) +f (-x)…..①,
再令x = y = 0得f(0)= f(0)+ f(0)得f (0)=0，代入①式得f (-x)= -f(x)。
得 f (x)是一个奇函数，图像关于原点对称。
∵当x <0时，f (x) >0，
即f (x)在R上是一个减函数，可得f (x)在[a,b]上有最小值f(b)。
3、图像性质解法，抽象函数虽然没有给出具体的解析式，但可利用它的性质图象直接来解题。抽象函数解题时常要用到以下结论：
定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于x=(a+b)/2 对称。
定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b+x)，则函数y=f(x)是一个周期函数，其周期应为∣b-a∣
例4　 f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)=f(2-x)，证明f(x)是周期函数。
分析：由 f(x)=f(2-x)，得 f(x)的图象关于x=1对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称，根据上述条件，可先画出符合条件的一个图，那么就可以化无形为有形，化抽象为具体。从图上直观地判断，然后再作证明。
由图可直观得T=2,要证其为周期函数，只需证f (x) = f (2 + x)。
证明：f (x) = f (-x) = f [2-(-x)] = f (2 + x)，∴ T=2。
∴f (x)是一个周期函数。

二、抽象函数的一般形式：
不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即抽象函数。一般形式为y=f(x)，或许还附有定义域、值域等，如： y=f(x), (x>0, y>0)。

Answer 2

求单调性一般有三种方法:作差法,作商法,求导法.
如果函数是抽象的,那就要根据已知条件运用了.
对于已知f(x)是R上的增函数,若令F(x)=f(1-x)-f(1+x)
假设x1<x2,则有1-x2<1-x1,1+x1<1+x2
所以F(x1)-F(x2)=[f(1-x1)-f(1-x2)]-[f(1+x1)-f(1+x2)]
因为f(x)是R上的增函数,所以f(1-x1)-f(1-x2)>0,f(1+x1)-f(1+x2)<0,所以F(x1)-F(x2)>0
所以F(x)是R上的减函数.

Answer 3

求单调性一般有三种方法:作差法,作商法,求导法.
如果函数是抽象的,那就要根据已知条件运用了.

补充:对于已知f(x)是R上的增函数,若令F(x)=f(1-x)-f(1+x)
假设x1<x2,则有1-x2<1-x1,1+x1<1+x2
所以F(x1)-F(x2)=[f(1-x1)-f(1-x2)]-[f(1+x1)-f(1+x2)]
因为f(x)是R上的增函数,所以f(1-x1)-f(1-x2)>0,f(1+x1)-f(1+x2)<0,所以F(x1)-F(x2)>0
所以F(x)是R上的减函数.

Answer 4

作差比较,再利用已知条件.(只能这样)