学过近世代数的高手进

Question

最近在自学近世代数，可是课后题没答案。一些题做了没把握。拿来给大家解解，顺便参考参考。
1。假定φ是A与A^间的一个一一映射，a是A的一个元。φ^[φ(a)]=?
φ^[φ(a)]=?若是的一个一一变换，答案又是什么。φ^表示φ的逆映射。
2。A={所有有理数},A的代数运算是普通加法。A^={所有≠0的有理数},A^的代数运算是普通乘法。证明,对于给的代数运算来说A与A^间没有同构映射存在（先决定0在一个同构映射之下的象）.
3.有人说：假如一个关系适合对称律和推移律，那么它也适合反射律。他的推论方法是：因为R适合对称律，所以aRb推出bRa,因为适合推移律，所以aRb,bRa推出aRa,这个推论方法有什么错误？
4.若群G的每一个元都适合方程x^2=e，那么G是交换群。x^2 表示x的平方
5.一个有限群的每一个元的阶都有限。
我只是个穷书生，没多少分可以酬谢，请大家谅解。
1楼果然是高手,希望以后还可以向你讨教,可以留下qq号吗.
还以为你是个高年级的大学生,原来和我同龄,而且比我小.佩服.
第1题,你的意思是答案都是a咯.
第2题,-1对应?看不太明,假设1对应a,则-1对应1/a,可以成立啊.我的解法是a+a对应a'的平方,又2a对应(2a'),
所以a'的平方=(2a'),即a'=根号(2a'),与a'是有理数矛盾.
第5题,能不能写出详细证明过程.谢谢.

Answer 1

1.φ是1-1映射,没的说,答案你自己知道.
只要φ是映射(单值映射),那么φ[φ^-1(a)]=a必然成立,题目中的式子未必等于a.考虑多对一的情形.
变换考虑的是一个集合自身到自身的映射,中心词还是映射,那么映射中的结论成立.
2.0->1,显然,作为单位元是唯一的.若a->a'则-a->1/a'.那么-1->?,就不合理了.所以没有同构映射存在.
3.aRa指对！！任意！！的a属于集合A（我们假定）都成立
“任意”性是关键.aRb则bRa；aRb，bRa则aRa.有个前提是aRb一定要成立，否则就没有aRa.而和b不一类的元素,任意性无法满足.
4.任意的x,y属于G,(xy)(yx)=x(yy)x=xx=e.逆元是唯一的.所以xy=yx
5.显然.否则可以把一个无限阶的元的各个阶都拿出来,自然各不相同,和有限群矛盾.

近世代数是很久以前的事情了,没那么熟练了,仅供参考吧.

你补充我也补充:
关于1,既然1-1就没有讨论价值了.
关于2,0->1那么a->-1,-a->-1不是1-1的.
关于5,设这个无限阶的元是a,那么a,a^2,a^3...a^n,...有无穷多个元素.从而与有限群矛盾.
有点不熟练,抱歉.

参考资料：http://www.gtianp.cn

Answer 2

2.0->1,显然,作为单位元是唯一的.若a->a'则-a->1/a'.那么-1->?,就不合理了.所以没有同构映射存在.
3.aRa指对！！任意！！的a属于集合A（我们假定）都成立
“任意”性是关键.aRb则bRa；aRb，bRa则aRa.有个前提是aRb一定要成立，否则就没有aRa.而和b不一类的元素,任意性无法满足.
4.任意的x,y属于G,(xy)(yx)=x(yy)x=xx=e.逆元是唯一的.所以xy=yx
5.显然.否则可以把一个无限阶的元的各个阶都拿出来,自然各不相同,和有限群矛盾.

近世代数是很久以前的事情了,没那么熟练了,仅供参考吧.

你补充我也补充:
关于1,既然1-1就没有讨论价值了.
关于2,0->1那么a->-1,-a->-1不是1-1的.
关于5,设这个无限阶的元是a,那么a,a^2,a^3...a^n,...有无穷多个元素.从而与有限群矛盾.
有点不熟练,抱歉.

参考资料：http://www.gtianp.cn

Answer 3

一楼答的很完整,让本人佩服!只想补充说,学近世代数最好还是买本习题集~

至于第五题,因为我学的是高教出版的<简明抽象代数>一书,当时也证明过这个问题.但我学的课本有一个定理是"有限群中,元的阶是该群的阶的因数",而且我记得是在循环群里学的,你看看你的书上有没有这个定理.

个人觉得近世代数需要在熟练掌握定理的基础上多思多想开拓思路,而且要注意前后知识的联系.比如当你学了环再联系群会发现有些题不用那么麻烦的解.其实有些习题还是很偏的,掌握大方向才是最重要.兄弟加油吧~~

Answer 4

你们真厉害