分别求m的取值范围，若方程x²-mx-m+3=0的两根 （1）一根在0与1之间，另一根在1与2之间

Question

分别求m的取值范围，若方程x²-mx-m+3=0的两根 （1）一根在0与1之间，另一根在1与2之间 （2）两根都在-4与0

Answer 1

令 f(x)=x^2-mx-m+3 ，则f(x)的图像是开口向上的抛物线，对称轴 x=m/2 。
1）因为 f(x)=0 的两个根一个介于0、1，一个介于1、2，
因此 f(0)=-m+3>0 ，f(1)=1-m-m+3<0 ，f(2)=4-2m-m+3>0 ，
分别解上述三个不等式，得 m<3 ，m>2 ，m<7/3 ，
取交集，得 m 的取值范围是 （2，7/3）。

2）若方程 f(x)=0 的两个根都在 -4 、0 之间，
则由抛物线的性质得
f(-4)=16+4m-m+3>0 ， （1）
f(0)=-m+3>0 ， （2）
对称轴介于 -4、0 之间：-4<m/2<0 ， （3）
判别式非负：m^2-4(-m+3)>0 ， （4）
解以上四个不等式，得 （1）m>-19/3 ；（2）m<3 ；（3）-8<m<0 ；（4）m<-6 或 m>2
取交集，得 m 的取值范围是（-19/3 ，-6）。

Answer 2

由方程x²-mx-m+3=0得(x-m/2)²=1/4m²+m-3>0，有x1=m/2+1/2*根号（m²+4m-12），x2=m/2-1/2*根号（m²+4m-12）。
由1/4m²+m-3>0
得m>2或 m<-6
（1）一根在0与1之间，另一根在1与2之间 。即有
0<m/2-1/2*根号（m²+4m-12）<1，算得2<m<3
1<m/2+1/2*根号（m²+4m-12）<2，算得2<m<7/3
所以m的取值范围2与7/3之间

（2）两根都在-4与0
-4<m/2-1/2*根号（m²+4m-12）<0，算得-19/3<m<-6
-4<m/2+1/2*根号（m²+4m-12）<0，算得m<-6
所以m的取值范围-19/3与-6之间

Answer 3

解：设两根分别为x1,x2.
(1)则有0<x1+x2<3，0<x1x2<1
即0<m<3,0<-m+3<1
所以：2<m<3
(2)同理有
-8<m<0,0<-m+3<16
所以：-8<m<0

Answer 4

Answer 5