如图,在平面直角坐标系中,△ABC满足∠ACB=90°,AC=2，BC=1

Question

如图,在平面直角坐标系中,△ABC满足∠ACB=90°,AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A从原点开始在x轴正半轴上运动时，点C也随之在y轴的正半轴上运动
（1）当点A在坐标原点时，求原点O到点B的距离OB
（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB
（3）求原点O到点B的距离OB的最大值，并确定此时图形应满足什么条件

Answer 1

解：（1）当A点在坐标原点时，如图，

AC在y轴上，BC⊥y轴，
所以OB=
AC2+BC2=
5．
目的是从特殊情况理解题意，考察勾股定理的基本应用与计算．

（2）当OA=OC时，如图，△OAC是等腰直角三角形，AC=2．
所以∠1=∠2=45°，OA=OC=
2．
过点B作BE⊥OA于E，过点C作CD⊥OC，且CD与BE交于点D，
则∠3=90°-∠ACD=90°-（90°-45°）=45°．又BC=1，
所以CD=BD=
22，BE=BD+DE=BD+OC=
3
22，
因此OB=
(
22)2+(
3
22)2=
5．

 

（3）解法一：如图所示，设∠ACO=θ，过C作CD⊥OC，

由于∠BCA=90°，所以∠BCD=θ．由AC=2，BC=1，可以得B点的坐标
为B（cosθ，sinθ+2cosθ）．则l2=OB2=cos2θ+（sinθ+2cosθ）2=cos2θ+sin2θ+4sinθcosθ+4cos2θ=1+2sin2θ+4cos2θ=3+2sin2θ+2（2cos2θ-1）=3+2sin2θ+2cos2θ=3+2
2[
22sin2θ+
22cos2θ]=3+2
2sin(2θ+
π4)
当θ=
π8时，l2max=3+2
2=(1+
2)2，所以lmax=1+
2．
解法二：如图，取AC的中点E，连接OE，BE．在Rt△AOC中，OE是斜边AC上的中线，所以OE=
12AC=1．

在△ACB中，BC=1，CE=
12AC=1，∠BCE=90°，
所以BE=
2．
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+EB=1+
2，
若点O，E，B在一条直线上，
则OB=OE+EB=1+
2，
所以当点O，E，B在一条直线上时，OB取到最大值，
最大值是1+
2．
当O，E，B在一条直线上时，OB取到最大值时，
从下图可见，OE=1，EB=
2．∠CEB=45°，但CE=OE=1，
∠ECO=∠COE=
∠CEB2=
45°2=22.5°．

Answer 2

（1）易知：OB=√5
（2）易得：yC=√2，xB=√2/2，yB=√2+√2/2=3√2/2，所以OB=√5
（3）对一般情形，作BD⊥y轴于D，则△AOC∽△CDB
设∠CAO=θ，则：AO=2cosθ，CO=2sinθ，CD=cosθ，BD=sinθ
OB²=(OC+CD)²+BD²=4sin²θ+4sinθcosθ+1=3+2√2sin(2θ-π/4)
所以：当θ=3π/8时，OBmax=√(3+2√2)=1+√2

Answer 3

（1）C（0,2），B(1,2),OB=根号5
（2）OA=OC=2/根号2=根号2，A(根号2,0）C（0，根号2）因为BC=1，AB=根号5，根据两点间距离公式列方程组，B（二分之根号二，二分之三根号二），OB=根号5
（3）取AC的中点E，连接OE，BE．
在Rt△AOC中，OE是斜边AC上的中线，
所以OE=1/2AC=1，
在△ACB中，BC=1，CE=1/2AC=1，
所以BE= 根号2；
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE=1+ 根号2 ．
若点O，E，B在一条直线上，则OB=OE+BE=1+ 根号2 ，
所以当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为1+ 根号2．