已知数列{an}的前n项和Sn=1-5+9-13+……+(-1)^n-1(4n-3),求S15+S22-S31的值

Question

Sn中两项两项结合以后的和都是-4
S[2n]表示前2n项的和，总项数是偶数，故共可以得到n个-4
故S[2n]=(1-5)+(9-13)+(17-21)+...+[(8n-7)-(8n-3)]=-4n
1,9,17……的通项是8n-7 5,13,21……的通项是8n-3
S[2n-1]表示前2n-1项的和，总项数是奇数，但只要将第一项1单独放一边，从第二项起两项两项结合，都是4，由于第二项往后共有2n-2项，故共可以得到n-1个4
故S[2n-1]=1+(-5+9)+(-13+17)+(-21+25)+...+[(-8n+11)+(8n-7)]
=1+4(n-1)=4n-3
这里所以S15+S22-S31=(4*8-3)+(-4*11)-(4*16-3)=76

为什么要求1,9,17……的通项是8n-7 5,13,21……的通项是8n-3 和 -5,-13,-21的通项是-8n+11 9,17,25……的通项是8n-7
S15+S22-S31=(4*8-3)+(-4*11)-(4*16-3)=76这个是怎么来的啊。

Answer 1

楼主 你自己的求通项的大体思路方法完全正确 但是求的过程中出错了
当项数为偶数的时候：Sn=n/2*（-4）=-2n 每2项的和都是（-4） 总共有（n/2）项
当项数为奇数的时候：Sn=(n-1)/2*4+1=2n-1 除开第一项是1 后面每2项的和都是4 总共有(n-1)/2项

所以S15+S22-S31=29+（-44）-61=-76

Answer 2

考虑将两个两个数结合在一起，
则：
S15可以先把第一个留下，后面的14个数组成7组，每组的和都是4，则：S15=1＋4×7=29
S22可以两个两个组成11组，每组的和都是－4，则：S22=(－4)×11=－44
S31类似于S15的求法，得：S31=1＋15×4=61

【你的这个找通项的方法不好】

追问

哦。那这样算出来，就不是76了。是46？

追答

S15＋S22－S31=－76

追问

谢谢老师、