因式分解的概念
数学目的
1．使学生正确理解因式分解的意义
2．加深对公式逆向变形的印象，以利于培养逆向思维能力．
教学重点与难点
重点是因式分解的意义，关键是讲清整式乘法与因式分解的联系与区别．
教学过程
一、新课引入
用类比方法引入课题．在算术里学习分数的时候，常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把33分解成3×11，把42分解成2×3×7．
在代数里学习分式的时候，也常常要进行约分与通分，因此也常常要把一个多项式化成几个整式的积．
这一章就是介绍把一个多项式化成几个整式的积的方法．现在请同学们先看课本中的图形．
从分析插图入手，引导学生进行逆向思维，使学生初步了解课题——因式分解的含义．
分析插图两个相反方向的箭头所表示的变形过程，从直观上给出因式分解的形象(感性认识)．
m(a+b+c)=ma+mb+mc表示多项式的一种变形，它表明两个因式乘积的结果，是一个多项式，其中各项都含有一个公共的因式m，反过来写，即ma+mb+mc=m(a+b+c)表示多项式的另一种变形．它表明，如果一个多项式的各项都含有一个公共的因式m，那么这个多项式可以化成m与另一个因式的积，结果是两个因式乘积的形式．
从以上分析可以看出，这是两种互为相反的变形，前者是我们已经学习过的整式乘法，而后者则是我们今天要学习的新课——因式分解(随手板书)．
二、新课
1．在通过插图得出因式分解的感性认识的基础上，进一步指导学习概括出因式分解的概念．
从插图上半部分第二个等式ma+mb+mc=m(a+b+c)，我们可以发现它的左边是一个多项式，右边是两个整式的积，因此，不难归纳出因式分解的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2．弄清有关因式分解概念的四个问题：
(1)比较插图上半部分两个等式，可得出因式分解与整式乘法是两种不同的多项式的变形．它们既有联系又有区别．
联系：同样是由几个相同的整式组成的等式．
区别：这几个相同的整式所在的位置不同，上式是做整式乘法：下式是进行因式分解．两者是方向相反的恒等变形．乘法的特征是积化和差的形式，因式分解的特征是和差化积的形式．
(2)必须正确理解因式分解的定义，因式分解不能只“分解”多项式的某些项，变形的结果必须是化成几个整式积的形式．
练习：
(口答)下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
(1)(x+2)(x-2)=x2-4；
(2)x2-4=(x+2)(x-2)；
(3)x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x；
(4)x2-4=(x+2)(x-2)=x2-4
解答可叫学生一一回答，并说明理由．
(3)因式分解是一种恒等变形(即变形前后两式是恒等式)．
可用a2-b2=(a+b)(a-b)说明恒等意义．
(4)因式分解是整式乘法的逆向思维，从插图来看箭头方向，我们可以得出图的上式是整式乘法，它的图示是从左边到右边，是表示整式乘法的变形过程，反过来，图的下式是因式分解，它的图示是从右边到左边，是表示因式分解的变形过程，直观地反映了因式分解与整式乘法正好是相反的关系．这两种变形是思维方向相反的两种变形，因此，因式分解的思维过程就是整式乘法的逆向思维的过程．从分析插图中不难发现，因式分解问题可以化成为整式乘法的逆向思维来解决，这给了我们一个启示，即只要我们找出事物之间的内在联系，就可以利用它们之间的关系来分析与解决问题．
3．直观地给出因式分解的两种基本方法：
我们学习了因式分解的定义，如果一个多项式可以因式分解，那么如何进行因式分解呢？我们再来看插图上、下两部分，插图上部第二个等式给出了因式分解的一种基本方法——提公因式法；下部等式从下到上则给出了因式分解的另一种基本方法——分组分解法．因式分解的几种基本方法，就是本章要学习的内容．下一节课开始学习它．
三、小结
师生共同小结：
因式分解的概念：因式分解与整式乘法的关系；有关因式分解概念的几个问题．
四、布置作业
1．阅读课文：
2．根据乘法运算
(m+4)(m-4)=m2-16,
(x+2)(x+3)=x2+5x+6，(y-3)2=y2-6y+9，
(p-2)(p2+2p+4)=p3-8，
把下列多项式分解因式：
(1)m2-16；(2)x2+5x+6；
(3)y2-6y+9；(4)p3-8．
3．因式分解实质上是一种什么问题？(答：多项式的恒等变形的问题)．
提公因式法(一)
教学目的
使学生理解“提公因式法”的意义，能初步运用提公因式法进行因式分解．
教学重点和关键
重点：掌握提公因式的方法．关键：确定公因式．
教学过程
一、复习
提问：什么叫因式分解？该把ma+mb+mc因式分解．
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解．
ma+mb+mc=m(a+b+c) (1)
因为根据乘法分配律，有
m(a+b+c)=ma+mb+mc
反过来，便得到等式(1)，即把多项式ma+mb+mc因式分解了．
可见，多项式ma+mb+mc各项都含有公共因式m，这时我们把公共因式m，叫做这个多项式的公因式．
如m是多项式ma+mb-mc各项的公因式；
d是多项式ad+bd-cd各项的公因式．
二、新课
由等式(1)我们可以得到多项式ma+mb+mc各项都含有公因式m，就可以把公因式m提到括号外面，将多项式ma+mb+mc写成因式乘积的形式，这样做就是把多项式ma+mb+mc分解因式了．这种用提取多项式公因式来把多项式因式分解的方法，叫做提公因式法．
一般地说，如果多项式的各项有公因式，则可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积形式，这种分解因式的方法，叫做提公因式法．
指出，如果多项式用提公因式方法分解因式，写成因式乘积形式，则其中一个因式是公因式，另一个因式是用这个公因式去除这个多项式所得到的商式．这也可以由因式分解与整式乘法是相反的关系而推出．下面我们用具体例子来介绍这个方法：
例1 把8a3b2-12ab3c分解因式．
分析：分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式．
先引导学生找出多项式的公因式4ab2，指出确定公因式应注意两点：(1)公因式的系数取各项系数的最大公约数，(2)字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的．
解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc
=8ab2(2a2-3bc)
这里应特别指出：学生可能忘记找系数的公因数，或把相同字母的次数取错了，要强调准确地找出公因式是提公因式法的关键．
课堂练习：
指出下列多项式的公因式：(口答)
(1)ax+ay；(2)3mx-6nx；
(3)4a2+10ab；(4)15a2+5a；
(5)x2y+xy2；(6)12xyz-9x2y2
参考答案
(1)a；(2)3x；(3)2a；(4)5a；(5)xy；(6)3xy
例2 把3x2-6xy+x分解因式．
先引导学生找出公因式x，强调提取公因式x后，另一个因式应是3x-6y+1，而不是3x-6y，要学生注意不要漏写最后一项1，指出1作为项的系数，通常可以省略，但如果单独成一项时，则它在因式分解时不能漏掉．
解：3x2-6xy+x=x·3x-x·6y+x·1
=x(3x-6y+1)
课堂练习：
填空：
(1)2πR+2πr=______(R+r)；
(4)3x3+6x2=______(x+2)；
(5)7a2-21a=______(a-3)；
(6)15a2+5a=5a(______)；
(7)x2y+xy2-xy=xy(______)；
(8)2πR+2π-2πr2=______(R+1-r2)．
参考答案
(5)7a (6)3a+1 (7)x+y-1 (8)2π
例3 把-4m3+16m2-26m分解因式．
指出当多项式的第一项的系数是负的时，一般要先提出“-”号，使括号内的第一项系数是正的，然后再因式分解．在提出“-”号时，多项式各项都要变号，而忽视了其它各项的符号，因而出现-4m3+16m2-26m=-2m(2m2+8m-13)的错误．所以要强调首先把“-”号提到括号外，再进行因式分解，以免犯这种错误．
课堂练习：
把下列各式分解因式：
(1)*-nx+ny；(2)*-4x3+6x2；
(3)3a2y-3ay+6y；(4)-x2+xy-xz；
(5)*-3ma3+6ma2-9ma
参考答案
(1)-n(x-y)； (2)-2x2(2x-3)；
(3)3y(a2-a+2)； (4)-x(x-y+z)；
(5)-3ma(a2-2a+3)
三、小结
总结如何正确运用提公因式法把多项式因式分解：
1．提公因式法的步骤：(两步)
(1)找出多项式的公因式；
(2)提出公因式，把多项式写成因式乘积的形式(另一个因式是用公因式去除原多项式所得的商式)．
2．若多项式第一项的系数是负的，则一般是先提出“-”号，然后再进行因式分解．
四、布置作业
1．阅读课文．
2．把下列各式分解因式：
(1)cx-cy+cz；(2)px-qx-rx；
(3)15a3-10a2；(4)12abc-3bc2；
(5)4x2y-xy2；(6)63pq+14pq2；
(7)24a3m-18a2m2；(8)x6y-x4z．
3．填空：
(1)14abx-8ab2x+2ax=2ax(_________)；
(2)-7ab-14abx+49aby=-7ab(______)；
4．把下列各式分解因式：
(1)15x3y2+5x2y-20x2y3；
(2)6m2n-15mn2+30m2n2；
(3)-16x4-32x3+56x2；
(4)-4a3b2+6a2b-2ab
5．把下列各式分解因式：
(1)a2b+ab；(2)*3a2y-3ay+6ay2；
(3)*-8m2n+24mn2-8mn.
参考答案
2．(1)c(x-y+z)；(2)x(p-q-r)；
(3)5a2(3a-2)；(4)3bc(4a-c)
(5)xy(4x-y)；(6)7pq(9+2q)
(7)6a2m(4a-3m)；(8)x4(x2y-z)
3．(1)7b-4b2+1；(2)1+2x-7y
4．(1)5x2y(3xy+1-4y2)；(2)3mn(2m-5n+10mn)
(3)-8x2(2x2+4x-7)；(4)-2ab(2a2b-3a+1)
5．(1)ab(a+1)；(2)3ay(a-1+2y)；(3)-8mn(m-3n+1)
提公因式法(二)
教学目的
使学生掌握公因式是多项式的提公因式法，在因式分解中灵活运用此法，逐步形成技能．
教学重点和难点
重点是讲清多项式中公因式也可以是多项式，难点是寻找隐含的公因式．
教学过程
一、复习(提问)
1．什么是因式分解？它与乘法有何关系？
2．什么叫做公因式？怎样的方法叫做提公因式法？
3．把-42x3y2z+84x2y2z2-14x2yz分解因式．
4．用提公因式法分解因式要注意哪些问题？
二、新课
我们学习了公因式是单项式的提公因式法因式分解，如2am-3m=m(2a-3)，如果公因式是个多项式，比如m=b+c，即形如2a(b+c)-3(b+c)的多项式，那么对这样的多项式能否用提公因式法分解因式呢？今天我们就来研究这个问题(板书课题)
例1 把2a(b+c)-3(b+c)分解因式．
分析：我们把这个多项式看作是由两大项：2a(b+c)和-3(b+c)组成，这两项都含有因式(b+c)，如果设b+c=m，代入原多项式，则问题就化为找2am与-3m的公因式了．
解：2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3)
提问：下列各多项式的公因式分别是什么？
(1)a(x+y)+b(x+y)；
(2)x(a+3)-y(a+3)；
(3)6m(p-3)+5m(p-3)；
(4)7q(p-q)-2p(p-q)；
(5)x(a+b)-y(a+b)+z(a+b)；
(6)p(a2+b2)+q(a2+b2)-r(a2+b2)；
(7)2a(x+y-z)-3b(x+y-z)-5c(x+y-z)
参考答案
(1)x+y；(2)a+3；(3)p-3；(4)p-q；(5)a+b；(6)a2+b2；(7)x+y-z
例2 把6(x-2)+x(2-x)分解因式．
先指出上式两大项中没有明显的公因式(无法直接提公因式)，然后引导学生发现：2-x与x-2只差符号不同，即2-x=-(x-2)，原多项式可变形为6(x-2)-x(x-2)，两大项含公因式x-2，可以用提公因式法分解因式．
解：原式=6(x-2)-x(x-2)
=(x-2)(6-x)
课堂练习：把10m(a+b)-5n(b+a)分解因式．
参考答案
5(a+b)(2m-n)
指出，有时原多项式中各大项无明显的公因式，但某些因式经改变符号或交换因式中某些项的位置后成为公因式(这种公因式可称为隐含公因式)，应注意观察发现．
课堂练习：
1．在下列各式中等号右边的括号前填入正号或负号，使左边与右边相等：
(1)y-x= (x-y)；(2)b-a= (a-b)；
(3)d+c= (c+d)；(4)-z-y= (y+z)
(5)(b-a)2= (a-b)2；
(6)-x2+y2= (x2-y2)；
(7)(x-y)3= (y-x)3；
(8)(1-x)(x-2)= (x-1)(x-2)
2．把下列各式分解因式．
(1)a(x+y)+b(x+y)；
(2)m(m-n)2-n(n-m)2．
参考答案
1．(1)-；(2)-；(3)＋；(4)-；
(5)＋；(6)-；(7)-；(8)-．
2．(1)(x+y)(a＋b)；
(2)(m-n)3．
例3 把18b(a-b)2-12(a-b)3分解因式．引导学生发现：多项式中的两大项都含有(a-b)的幂，第一项中它的幂是2次的，第二项中它的幂是3次的．次数较低的幂(a-b)2应作为公因式(这也是一种隐含公因式)提出来；两大项系数的最大公约数6也应提出来；所以公因式是6(a-b)2
解：原式=6(a-b)2·3b-6(a-b)2·2(a-b)
=6(a-b)2[3b-2(a-b)]
=6(a-b)2(3b-2a+2b)
=6(a-b)2(5b-2a)
指出，提取公因式后，另一个因式[3b-2(a-b)]要进行化简，化简过程应注意去括号时符号的变化．
课堂练习：
1．把6(p+q)2-2(p+q)分解因式；
2．把2(x-y)2-x(x-y)分解因式；
3．把2x(x+y)2-(x+y)3分解因式；
参考答案
1．2(p+q)(3p+3q-1)
2．(x-y)(x-2y)
3．(x+y)2(x-y)
如果把例3的多项式改为18b(a-b)2-12(b-a)3，则应怎样分解因式呢？
教师提问：(1)以上多项式与例3多项式有何差别？(2)能否直接提公因式(a-b)2呢？(3)什么情况下才能提公因式？(4)能否把多项式变形，使两大项都含因式(a-b)2？应怎样变形？(因为(b-a)3=[-(a-b)]3=-(a-b)3，所以18b(a-b)2-12(b-a)3=18b(a-b)2+12(a-b)3)(分析后不解答)．
例4 把5(x-y)3+10(y-x)2分解因式．
引导学生分析：因为(y-x)2=(x-y)2或(x-y)3=-(y-x)3，所以上式中的两大项有公因式5(x-y)2或-5(y-x)2.
解：原式=5(x-y)3+10(x-y)2
=5(x-y)2[(x-y)+2]
=5(x-y)2(x-y+2)；
或 原式=-5(y-x)3+10(y-x)2
=-5(y-x)2[(y-x)-2]
=-5(y-x)2(y-x-2)．
指出，当公因式是隐含的时候，要先把多项式变形，再提公因式．一个多项式作不同的变形，可能得到不同的公因式，但它们仅仅是符号的差别而已．
指出变形过程的规律：
当n为偶数时，(y-x)n=(x-y)n；
当n为奇数时， (y-x)n=-(x-y)n．
课堂练习：
1．把3(y-x)2+2(x-y)分解因式；
2．把mn(m-n)-m(n-m)2分解因式．
参考答案
1．(x-y)(3x-3y+2)
2．m(m-n)(2n-m)
三、因式分解的应用
先因式分解，再求值：4a2(x+7)-3a2(x+7)，其中a=-5，x=3．
(原式=a2(x+7)(4-3)=a2(x+7)=(-5)2(3+7)=250)
课堂练习：
先因式分解，再求值：5x(m-2)-4x(m-2)，其中x=0.4，m=5.5．
参考答案
x(m-2)，1，40；
四、小结
提公因式法分解因式的关键是确定公因式，当公因式是隐含的时候，多项式要经过适当的变形；变形的过程要注意符号的相应改变．
五、布置作业
1．阅读课文
2．把下列各式分解因式：
(1)6p(p+q)-4p(p+q)；
(2)(m+n)(p+q)-(m+n)(p-q)；
(3)(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)
(4)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2；
(5)(a+b)(a-b)-(b+a)；
(6)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)；
(7)10a(x-y)2-5b(y-x)；
(8)3(x-1)3y-(1-x)3z
3．先因式分解，再求值．
(1)x(a-x)(a-y)-y(x-a)(y-a)，
其中a=3，x=2，y=4；
(2)-ab(a-b)2+a(b-a)2-ac(a-b)2，
其中a=3，b=2，c=1．
4．复习学过的乘法公式，预习下一节课文．
参考答案
2．(1)2p(p+q)；(2)2q(m+n)；(3)-(2a+b)(a+3b)；(4)-2xy(x+y)；
(5)(a+b)(a-b-1)；(6)(x-a)(a-b-c)；(7)5(y-x)(2ay-2ax-b)；(8)(x-1)3(3y+z)
3．(1)(x-a)(y-a)(x-y)∶2
(2)-a(a-b)2(b-1+c)∶-6
运用公式法——平方差公式(1)
教学目标
1．使学生初步掌握运用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)(其中公式中的a，b仅表示单项式)把多项式进行因式分解的思路和方法；
2．理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2与公式a2-b2=(a+b)(a-b)的关系，培养学生的双向思维能力，特别是逆向思维能力．
3．培养和提高学生观察和分析问题的能力．
教学重点和难点
重点：掌握平方差公式的特点及运用平方差公式把多项式因式分解的思路和方法．
难点：把多项式进行必要的变形，灵活运用平方差公式进行因式分解．
教学过程设计
一、复习
计算：
(1)(a+3)(a-3)；
(2)(5x+3y)(5x-3y)；
(4)(-2a+7b)(-2a-7b)．
解 (1)(a+3)(a-3)=a2-9；
(2)(5x+3y)(5x-3y)=25x2-9y2；
(4)(-2a+7b)(-2a-7b)＝4a2-49b2．
问：在上面的计算中，你运用了哪一个乘法公式？请口述它的内容，并用式子表示出来．
答：在计算中运用了平方差公式．内容是：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差．用式子表示为：(a+b)(a-b)=a2-b2．
这个公式的特点是：左边是两个因式积的形式，右边是一个多项式．
因为多项式的因式分解与整式乘法是相反的变形，因此把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来写，就得到式子
a2-b2=(a+b)(a-b)．
运用这个公式可以把形式为平方差的多项式分解因式，这个公式也叫做平方差公式．
二、新课
请同学用语言叙述平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)．
答：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
指出：在乘法公式中的字母可以表示任何数或单项式或多项式，同样在上面的平方差公式中，字母也可以表示任何数或单项式或多项式．
例1 用平方差公式把下列各式分解因式：
(1)9-m2；(2)n2-16；(3)9m2-16n2．
分析：运用平方差公式分解因式的关键是，首先要观察多项式的特点，看这个多项式是否可以表示成平方差的形式，其次是要弄清平方差公式中的a，b在多项式中各表示的是什么．
以(1)为例进行剖析，首先要把9-m2适当变形，使它变为平方差的形式：
再找出a，b所表示的数或式，这里a=3，b=m，然后运用平方差公式分解因式．
解 (1)9-m2=32-m2＝(3+m)(3-m)；
(2)n2-16= n2-42=(n+ 4)(n- 4)；
(3)9m2-16n2=(3m)2-(4n)2=(3m+4n)(3m-4n)．
例2 把下列各式分解因式：
问：例2中的各题是否可以运用平方差公式分解因式？公式中的a，b在各多项式中分别表示什么？
答：例2中的多项式经过变形，都可以化为平方差的形式，即
(1)1-25d2=12-(5d)2，其中a=1，b=5d；
(2)x2y2-z2=(xy)2-z2，其中a=xy，b=z；
所以例2中的三个多项式都可以运用平方差公式分解因式．
解 (1)1-25d2=1-(5d)2=(1+5d)(1-5d)；
(2)x2y2-z2=(xy)2-z2=(xy+z)(xy-z)；
例3 把下列各式分解因式：
(1)x4-9；(2)4x4-y2；(3) 16m4-81n4．
分析：由于各多项式可以化为平方差的形式，即(1)x4-9=(x2)2-32，(2) 4x4-y2=(2x2)2-y2，(3)16m4-81n4=(4m2)2-(9n2)2，所以可以运用平方差公式分解因式．
解(1)x4-9=(x2)2-32=(x2+3)(x2-3)；
(2)4x4-y2=(2x2)2-y2=(2x2+y)(2x2-y)；
(3)16m4-81n4=(4m2)2-(9n2)2
=(4m2+9n2)(4m2-9n2)
=(4m2+9n2)[(2m)2-(3n)2]
=(4m2+9n2)(2m+3n)(2m-3n)．
指出：从例3(3)的解答中可以看出，在把多项式进行因式分解时，必须把每一个因式分解到不能再分解因式为止．
三、课堂练习
1．在括号内填上适当的代数式：
2．选择题：
(1)下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是 [ ]．
A．-m4-n4 B．-16x2+y2
(2)下列因式分解正确的题的个数是 [ ]．
(x-3)2-y2=x2-6x+9-y2；
a2-9b2=(a+9b)(a-9b)；
4x6-1=(2x3+1)(2x3-1)；
m4n2-9=(m2n+3)(m2n-3)；
-a2-b2=(-a+b)(-a-b)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．把下列各式分解因式：
(5)81a4-625b4； (6) x6-4y2；
答案：
2．(1)(A)； (2)(B)．
3．
(2)(1+2xy)(1-2xy)；
(4)(0.3ab+0.1mn)(0.3ab-0.1mn)；
(5)(9a2+25b2)(3a+5b)(3a-5b)；
(6)(x3-2y)(x3-2y)；
(7)(0.5bc+2)(0.5bc-2)；
四、小结
运用平方差公式对多项式因式分解的思路和方法是：
1．所给多项式应为两项的平方差的形式，或经过适当的变形，可以把多项式表示为两项的平方差的形式；
2．确定平方差公式中的a，b分别表示多项式中的式子，然后运用平方差公式进行因式分解；
3．检查分解后的每一个因式能否再继续分解因式．
五、作业
1．把下列各式分解因式：
(1)a2-49； (2)64-x2；
(3)1-36m2； (4)0.49p2-144q2；
(5)121x2-4y4； (6)a2p2-b2q2；
2．把下列各式分解因式：
(1)m4-1；(2)81a4-b4；(3)16x4y4-625a8．
3．利用因式分解计算：
(1)7582-2582；(2)4292-1712．
答案：
1．(1)(a+7)(a- 7)；
(2)(8+x)(8-x)；
(3)(1+6m)(1-6m)；
(4)(0.7p+12q)(0.7p-12q)；
(5)(11x+2y2)(11x-2y2)；
(6)(ap+bq)(ap-bq)；
2．(1)(m2+1)(m+1)(m-1)；
(2)(9a2+b2)(3a+b)(3a-b)；
(3)(4x2y2+25a4)(2xy+5a2)(2xy-5a2)．
3．(1) 508000； (2) 154800．
课堂教学设计说明
1．通过复习整式的乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2，把它反过来表示，引入平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，进一步向学生说明了因式分解和整式乘法是互逆的变形关系．如果公式的左边是一个多项式，公式的右边是整式乘积形式，这种变形就是因式分解．所以，我们可以运用平方差公式把多项式进行因式分解．从这个公式的两种形式引导学生认识到这是一个问题的两个方面，从中培养学生运用双向思维，特别是逆向思维观察问题的能力．
2．本节课中安排的例题和课堂练习，大都不能直接运用平方差公式进行因式分解，都需要把给出的多项式进行适当的变形后，才能运用公式．所以在教学中，结合例1和例2引导学生观察所给的多项式的结构特点，让学生思考需要把多项式经过怎样的变形，才能把它变为两项的平方差的形式，纳入平方差公式，以此训练学生有目的地把多项式进行变形的方法．
3．在多项式的因式分解中，学生会遇到分解到何时为止的问题，本节课的例3(3)中及时为学生回答了这个问题．目前因为只是在有理数范围内进行因式分解，因此只要向学生提醒把多项式因式分解，一定要把每一个因式分解到不能再分解为止，以后，随着数域的扩大，再逐步向学生说明因式分解和数域有关的问题．
数学目的
1．使学生正确理解因式分解的意义
2．加深对公式逆向变形的印象，以利于培养逆向思维能力．
教学重点与难点
重点是因式分解的意义，关键是讲清整式乘法与因式分解的联系与区别．
教学过程
一、新课引入
用类比方法引入课题．在算术里学习分数的时候，常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把33分解成3×11，把42分解成2×3×7．
在代数里学习分式的时候，也常常要进行约分与通分，因此也常常要把一个多项式化成几个整式的积．
这一章就是介绍把一个多项式化成几个整式的积的方法．现在请同学们先看课本中的图形．
从分析插图入手，引导学生进行逆向思维，使学生初步了解课题——因式分解的含义．
分析插图两个相反方向的箭头所表示的变形过程，从直观上给出因式分解的形象(感性认识)．
m(a+b+c)=ma+mb+mc表示多项式的一种变形，它表明两个因式乘积的结果，是一个多项式，其中各项都含有一个公共的因式m，反过来写，即ma+mb+mc=m(a+b+c)表示多项式的另一种变形．它表明，如果一个多项式的各项都含有一个公共的因式m，那么这个多项式可以化成m与另一个因式的积，结果是两个因式乘积的形式．
从以上分析可以看出，这是两种互为相反的变形，前者是我们已经学习过的整式乘法，而后者则是我们今天要学习的新课——因式分解(随手板书)．
二、新课
1．在通过插图得出因式分解的感性认识的基础上，进一步指导学习概括出因式分解的概念．
从插图上半部分第二个等式ma+mb+mc=m(a+b+c)，我们可以发现它的左边是一个多项式，右边是两个整式的积，因此，不难归纳出因式分解的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2．弄清有关因式分解概念的四个问题：
(1)比较插图上半部分两个等式，可得出因式分解与整式乘法是两种不同的多项式的变形．它们既有联系又有区别．
联系：同样是由几个相同的整式组成的等式．
区别：这几个相同的整式所在的位置不同，上式是做整式乘法：下式是进行因式分解．两者是方向相反的恒等变形．乘法的特征是积化和差的形式，因式分解的特征是和差化积的形式．
(2)必须正确理解因式分解的定义，因式分解不能只“分解”多项式的某些项，变形的结果必须是化成几个整式积的形式．
练习：
(口答)下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
(1)(x+2)(x-2)=x2-4；
(2)x2-4=(x+2)(x-2)；
(3)x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x；
(4)x2-4=(x+2)(x-2)=x2-4
解答可叫学生一一回答，并说明理由．
(3)因式分解是一种恒等变形(即变形前后两式是恒等式)．
可用a2-b2=(a+b)(a-b)说明恒等意义．
(4)因式分解是整式乘法的逆向思维，从插图来看箭头方向，我们可以得出图的上式是整式乘法，它的图示是从左边到右边，是表示整式乘法的变形过程，反过来，图的下式是因式分解，它的图示是从右边到左边，是表示因式分解的变形过程，直观地反映了因式分解与整式乘法正好是相反的关系．这两种变形是思维方向相反的两种变形，因此，因式分解的思维过程就是整式乘法的逆向思维的过程．从分析插图中不难发现，因式分解问题可以化成为整式乘法的逆向思维来解决，这给了我们一个启示，即只要我们找出事物之间的内在联系，就可以利用它们之间的关系来分析与解决问题．
3．直观地给出因式分解的两种基本方法：
我们学习了因式分解的定义，如果一个多项式可以因式分解，那么如何进行因式分解呢？我们再来看插图上、下两部分，插图上部第二个等式给出了因式分解的一种基本方法——提公因式法；下部等式从下到上则给出了因式分解的另一种基本方法——分组分解法．因式分解的几种基本方法，就是本章要学习的内容．下一节课开始学习它．
三、小结
师生共同小结：
因式分解的概念：因式分解与整式乘法的关系；有关因式分解概念的几个问题．
四、布置作业
1．阅读课文：
2．根据乘法运算
(m+4)(m-4)=m2-16,
(x+2)(x+3)=x2+5x+6，(y-3)2=y2-6y+9，
(p-2)(p2+2p+4)=p3-8，
把下列多项式分解因式：
(1)m2-16；(2)x2+5x+6；
(3)y2-6y+9；(4)p3-8．
3．因式分解实质上是一种什么问题？(答：多项式的恒等变形的问题)．
提公因式法(一)
教学目的
使学生理解“提公因式法”的意义，能初步运用提公因式法进行因式分解．
教学重点和关键
重点：掌握提公因式的方法．关键：确定公因式．
教学过程
一、复习
提问：什么叫因式分解？该把ma+mb+mc因式分解．
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解．
ma+mb+mc=m(a+b+c) (1)
因为根据乘法分配律，有
m(a+b+c)=ma+mb+mc
反过来，便得到等式(1)，即把多项式ma+mb+mc因式分解了．
可见，多项式ma+mb+mc各项都含有公共因式m，这时我们把公共因式m，叫做这个多项式的公因式．
如m是多项式ma+mb-mc各项的公因式；
d是多项式ad+bd-cd各项的公因式．
二、新课
由等式(1)我们可以得到多项式ma+mb+mc各项都含有公因式m，就可以把公因式m提到括号外面，将多项式ma+mb+mc写成因式乘积的形式，这样做就是把多项式ma+mb+mc分解因式了．这种用提取多项式公因式来把多项式因式分解的方法，叫做提公因式法．
一般地说，如果多项式的各项有公因式，则可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积形式，这种分解因式的方法，叫做提公因式法．
指出，如果多项式用提公因式方法分解因式，写成因式乘积形式，则其中一个因式是公因式，另一个因式是用这个公因式去除这个多项式所得到的商式．这也可以由因式分解与整式乘法是相反的关系而推出．下面我们用具体例子来介绍这个方法：
例1 把8a3b2-12ab3c分解因式．
分析：分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式．
先引导学生找出多项式的公因式4ab2，指出确定公因式应注意两点：(1)公因式的系数取各项系数的最大公约数，(2)字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的．
解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc
=8ab2(2a2-3bc)
这里应特别指出：学生可能忘记找系数的公因数，或把相同字母的次数取错了，要强调准确地找出公因式是提公因式法的关键．
课堂练习：
指出下列多项式的公因式：(口答)
(1)ax+ay；(2)3mx-6nx；
(3)4a2+10ab；(4)15a2+5a；
(5)x2y+xy2；(6)12xyz-9x2y2
参考答案
(1)a；(2)3x；(3)2a；(4)5a；(5)xy；(6)3xy
例2 把3x2-6xy+x分解因式．
先引导学生找出公因式x，强调提取公因式x后，另一个因式应是3x-6y+1，而不是3x-6y，要学生注意不要漏写最后一项1，指出1作为项的系数，通常可以省略，但如果单独成一项时，则它在因式分解时不能漏掉．
解：3x2-6xy+x=x·3x-x·6y+x·1
=x(3x-6y+1)
课堂练习：
填空：
(1)2πR+2πr=______(R+r)；
(4)3x3+6x2=______(x+2)；
(5)7a2-21a=______(a-3)；
(6)15a2+5a=5a(______)；
(7)x2y+xy2-xy=xy(______)；
(8)2πR+2π-2πr2=______(R+1-r2)．
参考答案
(5)7a (6)3a+1 (7)x+y-1 (8)2π
例3 把-4m3+16m2-26m分解因式．
指出当多项式的第一项的系数是负的时，一般要先提出“-”号，使括号内的第一项系数是正的，然后再因式分解．在提出“-”号时，多项式各项都要变号，而忽视了其它各项的符号，因而出现-4m3+16m2-26m=-2m(2m2+8m-13)的错误．所以要强调首先把“-”号提到括号外，再进行因式分解，以免犯这种错误．
课堂练习：
把下列各式分解因式：
(1)*-nx+ny；(2)*-4x3+6x2；
(3)3a2y-3ay+6y；(4)-x2+xy-xz；
(5)*-3ma3+6ma2-9ma
参考答案
(1)-n(x-y)； (2)-2x2(2x-3)；
(3)3y(a2-a+2)； (4)-x(x-y+z)；
(5)-3ma(a2-2a+3)
三、小结
总结如何正确运用提公因式法把多项式因式分解：
1．提公因式法的步骤：(两步)
(1)找出多项式的公因式；
(2)提出公因式，把多项式写成因式乘积的形式(另一个因式是用公因式去除原多项式所得的商式)．
2．若多项式第一项的系数是负的，则一般是先提出“-”号，然后再进行因式分解．
四、布置作业
1．阅读课文．
2．把下列各式分解因式：
(1)cx-cy+cz；(2)px-qx-rx；
(3)15a3-10a2；(4)12abc-3bc2；
(5)4x2y-xy2；(6)63pq+14pq2；
(7)24a3m-18a2m2；(8)x6y-x4z．
3．填空：
(1)14abx-8ab2x+2ax=2ax(_________)；
(2)-7ab-14abx+49aby=-7ab(______)；
4．把下列各式分解因式：
(1)15x3y2+5x2y-20x2y3；
(2)6m2n-15mn2+30m2n2；
(3)-16x4-32x3+56x2；
(4)-4a3b2+6a2b-2ab
5．把下列各式分解因式：
(1)a2b+ab；(2)*3a2y-3ay+6ay2；
(3)*-8m2n+24mn2-8mn.
参考答案
2．(1)c(x-y+z)；(2)x(p-q-r)；
(3)5a2(3a-2)；(4)3bc(4a-c)
(5)xy(4x-y)；(6)7pq(9+2q)
(7)6a2m(4a-3m)；(8)x4(x2y-z)
3．(1)7b-4b2+1；(2)1+2x-7y
4．(1)5x2y(3xy+1-4y2)；(2)3mn(2m-5n+10mn)
(3)-8x2(2x2+4x-7)；(4)-2ab(2a2b-3a+1)
5．(1)ab(a+1)；(2)3ay(a-1+2y)；(3)-8mn(m-3n+1)
提公因式法(二)
教学目的
使学生掌握公因式是多项式的提公因式法，在因式分解中灵活运用此法，逐步形成技能．
教学重点和难点
重点是讲清多项式中公因式也可以是多项式，难点是寻找隐含的公因式．
教学过程
一、复习(提问)
1．什么是因式分解？它与乘法有何关系？
2．什么叫做公因式？怎样的方法叫做提公因式法？
3．把-42x3y2z+84x2y2z2-14x2yz分解因式．
4．用提公因式法分解因式要注意哪些问题？
二、新课
我们学习了公因式是单项式的提公因式法因式分解，如2am-3m=m(2a-3)，如果公因式是个多项式，比如m=b+c，即形如2a(b+c)-3(b+c)的多项式，那么对这样的多项式能否用提公因式法分解因式呢？今天我们就来研究这个问题(板书课题)
例1 把2a(b+c)-3(b+c)分解因式．
分析：我们把这个多项式看作是由两大项：2a(b+c)和-3(b+c)组成，这两项都含有因式(b+c)，如果设b+c=m，代入原多项式，则问题就化为找2am与-3m的公因式了．
解：2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3)
提问：下列各多项式的公因式分别是什么？
(1)a(x+y)+b(x+y)；
(2)x(a+3)-y(a+3)；
(3)6m(p-3)+5m(p-3)；
(4)7q(p-q)-2p(p-q)；
(5)x(a+b)-y(a+b)+z(a+b)；
(6)p(a2+b2)+q(a2+b2)-r(a2+b2)；
(7)2a(x+y-z)-3b(x+y-z)-5c(x+y-z)
参考答案
(1)x+y；(2)a+3；(3)p-3；(4)p-q；(5)a+b；(6)a2+b2；(7)x+y-z
例2 把6(x-2)+x(2-x)分解因式．
先指出上式两大项中没有明显的公因式(无法直接提公因式)，然后引导学生发现：2-x与x-2只差符号不同，即2-x=-(x-2)，原多项式可变形为6(x-2)-x(x-2)，两大项含公因式x-2，可以用提公因式法分解因式．
解：原式=6(x-2)-x(x-2)
=(x-2)(6-x)
课堂练习：把10m(a+b)-5n(b+a)分解因式．
参考答案
5(a+b)(2m-n)
指出，有时原多项式中各大项无明显的公因式，但某些因式经改变符号或交换因式中某些项的位置后成为公因式(这种公因式可称为隐含公因式)，应注意观察发现．
课堂练习：
1．在下列各式中等号右边的括号前填入正号或负号，使左边与右边相等：
(1)y-x= (x-y)；(2)b-a= (a-b)；
(3)d+c= (c+d)；(4)-z-y= (y+z)
(5)(b-a)2= (a-b)2；
(6)-x2+y2= (x2-y2)；
(7)(x-y)3= (y-x)3；
(8)(1-x)(x-2)= (x-1)(x-2)
2．把下列各式分解因式．
(1)a(x+y)+b(x+y)；
(2)m(m-n)2-n(n-m)2．
参考答案
1．(1)-；(2)-；(3)＋；(4)-；
(5)＋；(6)-；(7)-；(8)-．
2．(1)(x+y)(a＋b)；
(2)(m-n)3．
例3 把18b(a-b)2-12(a-b)3分解因式．引导学生发现：多项式中的两大项都含有(a-b)的幂，第一项中它的幂是2次的，第二项中它的幂是3次的．次数较低的幂(a-b)2应作为公因式(这也是一种隐含公因式)提出来；两大项系数的最大公约数6也应提出来；所以公因式是6(a-b)2
解：原式=6(a-b)2·3b-6(a-b)2·2(a-b)
=6(a-b)2[3b-2(a-b)]
=6(a-b)2(3b-2a+2b)
=6(a-b)2(5b-2a)
指出，提取公因式后，另一个因式[3b-2(a-b)]要进行化简，化简过程应注意去括号时符号的变化．
课堂练习：
1．把6(p+q)2-2(p+q)分解因式；
2．把2(x-y)2-x(x-y)分解因式；
3．把2x(x+y)2-(x+y)3分解因式；
参考答案
1．2(p+q)(3p+3q-1)
2．(x-y)(x-2y)
3．(x+y)2(x-y)
如果把例3的多项式改为18b(a-b)2-12(b-a)3，则应怎样分解因式呢？
教师提问：(1)以上多项式与例3多项式有何差别？(2)能否直接提公因式(a-b)2呢？(3)什么情况下才能提公因式？(4)能否把多项式变形，使两大项都含因式(a-b)2？应怎样变形？(因为(b-a)3=[-(a-b)]3=-(a-b)3，所以18b(a-b)2-12(b-a)3=18b(a-b)2+12(a-b)3)(分析后不解答)．
例4 把5(x-y)3+10(y-x)2分解因式．
引导学生分析：因为(y-x)2=(x-y)2或(x-y)3=-(y-x)3，所以上式中的两大项有公因式5(x-y)2或-5(y-x)2.
解：原式=5(x-y)3+10(x-y)2
=5(x-y)2[(x-y)+2]
=5(x-y)2(x-y+2)；
或 原式=-5(y-x)3+10(y-x)2
=-5(y-x)2[(y-x)-2]
=-5(y-x)2(y-x-2)．
指出，当公因式是隐含的时候，要先把多项式变形，再提公因式．一个多项式作不同的变形，可能得到不同的公因式，但它们仅仅是符号的差别而已．
指出变形过程的规律：
当n为偶数时，(y-x)n=(x-y)n；
当n为奇数时， (y-x)n=-(x-y)n．
课堂练习：
1．把3(y-x)2+2(x-y)分解因式；
2．把mn(m-n)-m(n-m)2分解因式．
参考答案
1．(x-y)(3x-3y+2)
2．m(m-n)(2n-m)
三、因式分解的应用
先因式分解，再求值：4a2(x+7)-3a2(x+7)，其中a=-5，x=3．
(原式=a2(x+7)(4-3)=a2(x+7)=(-5)2(3+7)=250)
课堂练习：
先因式分解，再求值：5x(m-2)-4x(m-2)，其中x=0.4，m=5.5．
参考答案
x(m-2)，1，40；
四、小结
提公因式法分解因式的关键是确定公因式，当公因式是隐含的时候，多项式要经过适当的变形；变形的过程要注意符号的相应改变．
五、布置作业
1．阅读课文
2．把下列各式分解因式：
(1)6p(p+q)-4p(p+q)；
(2)(m+n)(p+q)-(m+n)(p-q)；
(3)(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)
(4)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2；
(5)(a+b)(a-b)-(b+a)；
(6)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)；
(7)10a(x-y)2-5b(y-x)；
(8)3(x-1)3y-(1-x)3z
3．先因式分解，再求值．
(1)x(a-x)(a-y)-y(x-a)(y-a)，
其中a=3，x=2，y=4；
(2)-ab(a-b)2+a(b-a)2-ac(a-b)2，
其中a=3，b=2，c=1．
4．复习学过的乘法公式，预习下一节课文．
参考答案
2．(1)2p(p+q)；(2)2q(m+n)；(3)-(2a+b)(a+3b)；(4)-2xy(x+y)；
(5)(a+b)(a-b-1)；(6)(x-a)(a-b-c)；(7)5(y-x)(2ay-2ax-b)；(8)(x-1)3(3y+z)
3．(1)(x-a)(y-a)(x-y)∶2
(2)-a(a-b)2(b-1+c)∶-6
运用公式法——平方差公式(1)
教学目标
1．使学生初步掌握运用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)(其中公式中的a，b仅表示单项式)把多项式进行因式分解的思路和方法；
2．理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2与公式a2-b2=(a+b)(a-b)的关系，培养学生的双向思维能力，特别是逆向思维能力．
3．培养和提高学生观察和分析问题的能力．
教学重点和难点
重点：掌握平方差公式的特点及运用平方差公式把多项式因式分解的思路和方法．
难点：把多项式进行必要的变形，灵活运用平方差公式进行因式分解．
教学过程设计
一、复习
计算：
(1)(a+3)(a-3)；
(2)(5x+3y)(5x-3y)；
(4)(-2a+7b)(-2a-7b)．
解 (1)(a+3)(a-3)=a2-9；
(2)(5x+3y)(5x-3y)=25x2-9y2；
(4)(-2a+7b)(-2a-7b)＝4a2-49b2．
问：在上面的计算中，你运用了哪一个乘法公式？请口述它的内容，并用式子表示出来．
答：在计算中运用了平方差公式．内容是：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差．用式子表示为：(a+b)(a-b)=a2-b2．
这个公式的特点是：左边是两个因式积的形式，右边是一个多项式．
因为多项式的因式分解与整式乘法是相反的变形，因此把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来写，就得到式子
a2-b2=(a+b)(a-b)．
运用这个公式可以把形式为平方差的多项式分解因式，这个公式也叫做平方差公式．
二、新课
请同学用语言叙述平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)．
答：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
指出：在乘法公式中的字母可以表示任何数或单项式或多项式，同样在上面的平方差公式中，字母也可以表示任何数或单项式或多项式．
例1 用平方差公式把下列各式分解因式：
(1)9-m2；(2)n2-16；(3)9m2-16n2．
分析：运用平方差公式分解因式的关键是，首先要观察多项式的特点，看这个多项式是否可以表示成平方差的形式，其次是要弄清平方差公式中的a，b在多项式中各表示的是什么．
以(1)为例进行剖析，首先要把9-m2适当变形，使它变为平方差的形式：
再找出a，b所表示的数或式，这里a=3，b=m，然后运用平方差公式分解因式．
解 (1)9-m2=32-m2＝(3+m)(3-m)；
(2)n2-16= n2-42=(n+ 4)(n- 4)；
(3)9m2-16n2=(3m)2-(4n)2=(3m+4n)(3m-4n)．
例2 把下列各式分解因式：
问：例2中的各题是否可以运用平方差公式分解因式？公式中的a，b在各多项式中分别表示什么？
答：例2中的多项式经过变形，都可以化为平方差的形式，即
(1)1-25d2=12-(5d)2，其中a=1，b=5d；
(2)x2y2-z2=(xy)2-z2，其中a=xy，b=z；
所以例2中的三个多项式都可以运用平方差公式分解因式．
解 (1)1-25d2=1-(5d)2=(1+5d)(1-5d)；
(2)x2y2-z2=(xy)2-z2=(xy+z)(xy-z)；
例3 把下列各式分解因式：
(1)x4-9；(2)4x4-y2；(3) 16m4-81n4．
分析：由于各多项式可以化为平方差的形式，即(1)x4-9=(x2)2-32，(2) 4x4-y2=(2x2)2-y2，(3)16m4-81n4=(4m2)2-(9n2)2，所以可以运用平方差公式分解因式．
解(1)x4-9=(x2)2-32=(x2+3)(x2-3)；
(2)4x4-y2=(2x2)2-y2=(2x2+y)(2x2-y)；
(3)16m4-81n4=(4m2)2-(9n2)2
=(4m2+9n2)(4m2-9n2)
=(4m2+9n2)[(2m)2-(3n)2]
=(4m2+9n2)(2m+3n)(2m-3n)．
指出：从例3(3)的解答中可以看出，在把多项式进行因式分解时，必须把每一个因式分解到不能再分解因式为止．
三、课堂练习
1．在括号内填上适当的代数式：
2．选择题：
(1)下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是 [ ]．
A．-m4-n4 B．-16x2+y2
(2)下列因式分解正确的题的个数是 [ ]．
(x-3)2-y2=x2-6x+9-y2；
a2-9b2=(a+9b)(a-9b)；
4x6-1=(2x3+1)(2x3-1)；
m4n2-9=(m2n+3)(m2n-3)；
-a2-b2=(-a+b)(-a-b)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．把下列各式分解因式：
(5)81a4-625b4； (6) x6-4y2；
答案：
2．(1)(A)； (2)(B)．
3．
(2)(1+2xy)(1-2xy)；
(4)(0.3ab+0.1mn)(0.3ab-0.1mn)；
(5)(9a2+25b2)(3a+5b)(3a-5b)；
(6)(x3-2y)(x3-2y)；
(7)(0.5bc+2)(0.5bc-2)；
四、小结
运用平方差公式对多项式因式分解的思路和方法是：
1．所给多项式应为两项的平方差的形式，或经过适当的变形，可以把多项式表示为两项的平方差的形式；
2．确定平方差公式中的a，b分别表示多项式中的式子，然后运用平方差公式进行因式分解；
3．检查分解后的每一个因式能否再继续分解因式．
五、作业
1．把下列各式分解因式：
(1)a2-49； (2)64-x2；
(3)1-36m2； (4)0.49p2-144q2；
(5)121x2-4y4； (6)a2p2-b2q2；
2．把下列各式分解因式：
(1)m4-1；(2)81a4-b4；(3)16x4y4-625a8．
3．利用因式分解计算：
(1)7582-2582；(2)4292-1712．
答案：
1．(1)(a+7)(a- 7)；
(2)(8+x)(8-x)；
(3)(1+6m)(1-6m)；
(4)(0.7p+12q)(0.7p-12q)；
(5)(11x+2y2)(11x-2y2)；
(6)(ap+bq)(ap-bq)；
2．(1)(m2+1)(m+1)(m-1)；
(2)(9a2+b2)(3a+b)(3a-b)；
(3)(4x2y2+25a4)(2xy+5a2)(2xy-5a2)．
3．(1) 508000； (2) 154800．
课堂教学设计说明
1．通过复习整式的乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2，把它反过来表示，引入平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，进一步向学生说明了因式分解和整式乘法是互逆的变形关系．如果公式的左边是一个多项式，公式的右边是整式乘积形式，这种变形就是因式分解．所以，我们可以运用平方差公式把多项式进行因式分解．从这个公式的两种形式引导学生认识到这是一个问题的两个方面，从中培养学生运用双向思维，特别是逆向思维观察问题的能力．
2．本节课中安排的例题和课堂练习，大都不能直接运用平方差公式进行因式分解，都需要把给出的多项式进行适当的变形后，才能运用公式．所以在教学中，结合例1和例2引导学生观察所给的多项式的结构特点，让学生思考需要把多项式经过怎样的变形，才能把它变为两项的平方差的形式，纳入平方差公式，以此训练学生有目的地把多项式进行变形的方法．
3．在多项式的因式分解中，学生会遇到分解到何时为止的问题，本节课的例3(3)中及时为学生回答了这个问题．目前因为只是在有理数范围内进行因式分解，因此只要向学生提醒把多项式因式分解，一定要把每一个因式分解到不能再分解为止，以后，随着数域的扩大，再逐步向学生说明因式分解和数域有关的问题．
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
第1个回答 2006-03-03
因式分解的十二种方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)
解：a +4ab+4b =（a+2b）
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析： 1 -3
7 2
2-21=-19
解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 图象法
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
解：令y= x +2x -5x-6
作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x +9x +23x+15
解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值
则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)本回答被提问者采纳
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)
解：a +4ab+4b =（a+2b）
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析： 1 -3
7 2
2-21=-19
解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 图象法
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
解：令y= x +2x -5x-6
作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x +9x +23x+15
解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值
则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)本回答被提问者采纳
第2个回答 2006-03-03
因式分解的形式是这样的,如果有一个式子是:
X*X+(a+b)X+ab 那么它就可以分解成(X+a)(X+b)
举个例子吧,你看看 x*x+5x+6,怎么分解呢,它可以变成这样:x*x+(2+3)x+2*3,看到了吧,所以它就可以变成(x+2)(x+3)
再试试:x*x-5x+6 ,中间变减号了,又怎么办呢?没事,我们这样变:x*x+[(-20+(-3)]x+(-2)*(-3),这样又可以把原式变成(x-2)(x-3)
这些都是小意思,以后你学到就会觉得容易的,不难,呵呵.不用怕....
X*X+(a+b)X+ab 那么它就可以分解成(X+a)(X+b)
举个例子吧,你看看 x*x+5x+6,怎么分解呢,它可以变成这样:x*x+(2+3)x+2*3,看到了吧,所以它就可以变成(x+2)(x+3)
再试试:x*x-5x+6 ,中间变减号了,又怎么办呢?没事,我们这样变:x*x+[(-20+(-3)]x+(-2)*(-3),这样又可以把原式变成(x-2)(x-3)
这些都是小意思,以后你学到就会觉得容易的,不难,呵呵.不用怕....
第3个回答 2019-03-11
根据性质啊
例我的数学也还很好，因式分解也不太难的，有技巧的我的老师告诉我们，做因式分解要有技巧，也要按照定义去做，送你四句话，也是我的老师给我们的：
首先提取公因式，
然后考虑用公式
分组分的要合适
结果必是连乘式
如果老师讲的少，你还可以试试自学！！
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
比如...x^2+6x-7这个式子
由于一次幂x前系数为6
所以，我们可以想到，7-1=6
那正好这个式子的常数项为-7
因此我们想到将-7看成7*（-1）
于是我们作十字相成
x
+7
x
-1
的到（x+7）·（x-1）
如什么十字相乘法，提公因式，立方和立方差，平方差，完全平方，求根公式
例我的数学也还很好，因式分解也不太难的，有技巧的我的老师告诉我们，做因式分解要有技巧，也要按照定义去做，送你四句话，也是我的老师给我们的：
首先提取公因式，
然后考虑用公式
分组分的要合适
结果必是连乘式
如果老师讲的少，你还可以试试自学！！
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
比如...x^2+6x-7这个式子
由于一次幂x前系数为6
所以，我们可以想到，7-1=6
那正好这个式子的常数项为-7
因此我们想到将-7看成7*（-1）
于是我们作十字相成
x
+7
x
-1
的到（x+7）·（x-1）
如什么十字相乘法，提公因式，立方和立方差，平方差，完全平方，求根公式
什么叫因式分解,谁能教我?
(4)因式分解是整式乘法的逆向思维,从插图来看箭头方向,我们可以得出图的上式是整式乘法,它的图示是从左边到右边,是表示整式乘法的变形过程,反过来,图的下式是因式分解,它的图示是从右边到左边,是表示因式分解的变形过程,直观地反映了因式分解与整式乘法正好是相反的关系.这两种变形是思维方向相反的两种变形,因此,因...
我想知道什么叫因式分解?
因式分解，是主谓短语，分解因式，是动宾短语，就是把多项式，变成一个个式子相乘的形式；如果需要示意图，就看看汉字 “目”、“月” 和 “朋”、“用”，“月” 和 “目” 就是长为 3，宽分别是 a、b 的两个长方形，写成 3a + 3b 像 “朋” 就是一个两项式，如果 “月” 和 “目...
什么叫因式分解法?能跟我讲讲吗?
就是把一个多项式分解成几个数得乘积的形式 比如,A^2+2AB+B^2=(A+B)(A+B)这种分解后,由于都是乘积的形式,可以方便于讨论问题等
因式分解 求解
因式分解，也叫分解因式，是把多项式，变成一个个式子相乘的形式；示意图，就看看汉字 “目”、“月” 和 “朋”、“用”“月” 和 “目” 就是 3na、3nb 的两个长方形，写成 3na + 3nb 像 “朋” 就是两项式 如果 “月” 和 “目” 拼成一个 “用”，就是 3n ( a + b ) 的...
因式分解好难哦 希望学长教我
把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解{Factorization}，也叫作分解因式。在数学求根作图方面有很广泛的应用。原则：1、分解必须要彻底（即分解后之因式均不能再做分解）2、结果最后只留下小括号 3、结果的多项式首项为正。 在一个公式内把其公因子抽出，例子：其中，是公...
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