排列组合应用问题方法总结

如题所述

捆绑法:在解决排列组合问题时,当要求某几个元素必须相邻时,可将这些元素看作一个整体进行考虑。比如原本有3个元素,若它们必须相邻,则将这3个元素视为1个元素,与其余元素一起排列。需要额外注意的是,整体内部若存在前后顺序的区分,则还需考虑这些元素的排列顺序。例如,3个不同数字的3位数排列问题,除了整体排列外还需考虑内部数字的顺序。

插空法:若要求某些元素不相邻,可以先将其它元素排好,然后将不相邻元素插入到已有元素形成的空隙或两端。比如,有3个不同元素,要插入2个新元素,且新元素不能相邻,首先排列原有3个元素,形成空隙,然后在这些空隙中插入新元素,计算插入方式的数量。

插隔板法:在解决具有相同元素分组的问题时,可以采用插隔板的方法,即将比分组数目少1的隔板插入到元素中,以此解决元素的分组问题。例如,将5个相同元素分为2组,且每组至少1个元素,可以先用1个隔板将元素隔开,形成2组,然后计算隔板和元素之间的排列方式。

例1(08-57)一张节目表上原有3个节目,若保持这3个节目的相对顺序不变,再添进去2个新节目,有多少种安排方法?解:分两种情况考虑,当2个新节目挨着时,有4个空位,考虑到2个新节目的先后顺序,共8种排列方法;当2个新节目不挨着时,同样有4个空位,相当于2个新节目在4个位置的排列,共有12种方法。综上,总共有8+12=20种方法。

例2:A、B、C、D、E五个人排成一排,其中A、B两人不站一起,共有多少种站法?解:先考虑C、D、E三个人排成一排形成的4个空位,将A、B两人分别插入这4个空位,共12种插入方法。C、D、E三人的排列共有6种方法。综上,总共有6×12=72种站法。

例3:A、B、C、D、E五个人排成一排,其中A、B两人必须站一起,有多少种站法?解:将A、B两人视为1人,与C、D、E一起排列,共有24种排列方法。由于A、B两人内部仍有2种排列方式,因此总共有48种站法。

例4:将8个完全相同的球放入3个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,有多少种放法?解:先将每个盒子分得1个球,剩余5个球自由分配。用2个隔板在5个球之间分隔,形成3个部分,对应3个盒子。隔板在8个位置中选取2个放置,共有C72=21种方法。

例5:有9颗相同的糖,每天至少吃1颗,要在4天内吃完,有多少种吃法?解:用3个隔板在9颗糖之间分隔,形成4部分,对应4天的糖摄入量。隔板在8个位置中选取3个放置,共有C83=56种吃法。
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