如图所示，○的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm, EB=2cm, ∠CEA=30°，求CD。

Question

如图所示，○的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm, EB=2cm, ∠CEA=30°，求CD。

Answer 1

做OF⊥CD
∴根据垂经定理：CF=DF
∵∠FEO=∠CEA=30°
OE=OB-EB=(AE+EB)/2-EB=(6+2)/2-2=2
∴OF=1/2OE=1/2×2=1
∴EF=√(OE²-OF²)=√(2²-1²)=√3
连接OC，OC=OA=4
∴根据余弦定理
OC²=OE²+CE²-2OE×CE×cos∠CEA
16=4+CE²-2×2×CE×√3/2
CE²-2√3CE-12=0
CE=√3+√15
CE=√3-√15(舍去）
∴CF=CE-EF=√3+√15-√3=√15
∴CD=CF+DF=2CF=2√15

追问

能用初三上学期的知识吗？余弦定理我们还没学

追答

做OF⊥CD
∴根据垂经定理：CF=DF
∵∠FEO=∠CEA=30°
OE=OB-EB=(AE+EB)/2-EB=(6+2)/2-2=2
∴OF=1/2OE=1/2×2=1
∴EF=√(OE²-OF²)=√(2²-1²)=√3
∵CE=CF+EF=CD/2+√3
DE=DF-EF=CD/2-√3
∴根据相交弦定理：
AE×BE=CE×DE
(CD/2+√3)(CD/2-√3)=2×6=12
(CD/2)²-(√3)²=12
(CD/2)²=15
∴CD/2=√15
CD=2√15