用函数的极限定义证明limx→2= 1/x-1 =1

Question

答案里是 当得出 （ x-2）/（x-1） 不妨 将x的范围限制在（x-2）< 1/2内 …… 为什么？
还有一题是 limx→1 （x^2 - 1）/（x^2-x）=2 答案里又说 当得出（x-1）/x 时不妨设（x-1）<1/2 . 为什么？？这个1/2是怎么来的？？所有函数极限的题都是这样的吗？？

Answer 1

因为x→2，故考虑x在2的附近，限制的目的是解决分母x-1,进行放大
|1/(x-1)-1|=|(x-2)/(x-1)|,现在分子是|x-2|，分母|x-1|要放缩成数，只有限制|x-2|<1/2(这里可以是0.1，0.9等，相对较小）然后可使
|1/(x-1)-1|=|(x-2)/(x-1)|《K|x-2|

第1个一样：|（x-1）/x|，分子是|x-1|，分母|x|要放缩成数，限制|x-1|<1/10等

Answer 2

不是你这么理解的，我们先说说函数极限的定义吧：对于任意小的正ε，总存在正实数σ使得当
｜x-x0｜<σ时恒有｜f(x)-A｜<ε成立，我们称A是f(x)当x趋于x0的极限。用我们的话说：就是当x的取值在x0的左右无限靠近x0时，函数值无限靠近A值。证明limx→2= 1/x-1 =1就以此题为例来证明：首先取任意小正数ε，使｜1/(x-1)-1｜<ε解得|x-2|<ε/(1-ε)，由于ε无限小所以1-ε>0,所以存在正实数
σ=ε/(1-ε)，使|x-2|<σ时恒有｜1/(x-1)-1｜<ε成立，即原极限成立。